Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp Giải Toán 11 Cánh diều trang 110, 111, 112, 113

Toán lớp 11 tập 1 trang 110, 111, 112, 113 Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 5 Hình lăng trụ và hình hộp được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 113. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 1 Bài 5 Hình lăng trụ và hình hộp Cánh diều, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Toán lớp 11 tập 1 trang 113 - Cánh diều

Bài 1 trang 113

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (ACB') \(\parallel\) (A'C'D).

b) Gọi \(G_{1}, G_{2}\) lần lượt là giao điểm của BD' với các mặt phẳng (ACB') và (A'C'D). Chứng minh rằng \(G_{1}, G_{2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB' và A'C'D.

c) Chứng minh rằng \(BG_{1} = G_{1}G_{2} = D'G_{2}\).

Gợi ý đáp án

a) Ta có: AD // B'C', AD = B'C' nên ADC'B' là hình bình hành

Suy ra: AB' // DC' nên AB' // (A'C'D) (1)

Ta có: (ACC'A') là hình bình hành nên AC // A'C'. Suy ra: AC // (A'C'D) (2)

Mà AB', AC thuộc (ACB') (3)

(1)(2)(3) suy ra (ACB') // (A'C'D)

b) Gọi O, O' lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A'B'C'D'

Trong (BDD'B'): B'O cắt BD' mà B'O thuộc (ACB'), BD' cắt (ACB') tại \(G_{1}\)

Suy ra: B'O cắt BD' tại \(G_{1}\)

Tương tự ta có: DO' cắt BD' tại \(G_{2}\)

Ta có: \(\triangle G_{1}\)OB đồng dạng với \(\triangle G_{1}\)B'D' (do BD // B'D')

Suy ra: \(\frac{G_{1}O}{G_{1}B'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}\)

Nên: \(\frac{G_{1}O}{OB'}=\frac{2}{3}\)

Do đó: \(G_{1}\) là trọng tâm \(\triangle\)ACB'.

Chứng minh tương tự ta có: \(G_{2}\) là trọng tâm \(\triangle\)A'C'D.

c) Ta có: \(\triangle G_{1}\)OB đồng dạng với \(\triangle G_{1}\)B'D'

Suy ra: \(\frac{G_{1}B}{G_{1}D'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}\)

Nên: \(G_{1}B=\frac{1}{3}BD'\) (1)

Tương tự ta có: \(\frac{G_{2}D'}{G_{2}B}=\frac{OD'}{DB}=\frac{1}{2}\)

Nên: \(G_{2}D'=\frac{1}{3}DD'\) (2)

(1)(2) suy ra \(G_{1}B=G_{1}G_{2}=G_{2}D'\).

Bài 2 trang 113

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA', C'D', AD'. Chứng minh rằng:

a) NQ \(\parallel\) A'D' và NQ = \(\frac{1}{2}\)A'D';

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN \(\parallel\) (ACD');

d) (MNP) \(\parallel\) (ACD').

Gợi ý đáp án

a) Ta có: N là trung điểm của AA' nên \(\frac{AN}{AA'}=\frac{1}{2}\)

Q là trung điểm của AD' nên \(\frac{AQ}{AD'}=\frac{1}{2}\)

Theo định lí Ta-lét ta có: NQ // A'D'

Suy ra: \(\frac{NQ}{A'D'}=\frac{AN}{AA'}=\frac{1}{2}\) nên \(NQ=\frac{1}{2}A'D'\)

b) Ta có: NQ // A'D' mà A'D' // BC nên NQ // BC hay NQ // MC (1)

Ta có: \(NQ=\frac{1}{2}A'D'\) mà A'D' = BC, MC = \(\frac{1}{2}\) BC nên NQ = MC (2)

(1)(2) suy ra: MNQC là hình bình hành

c) Ta có: MNCQ là hình bình hành nên MN // CQ

Mà CQ thuộc (ACD')

Nên MN // (ACD')

d) Gọi O là trung điểm của AC

\(\triangle\)ACB có: O, M là trung điểm của AC, BC

Suy ra: OM // AB nên OM = \(\frac{1}{2}\) AB

Mà AB = C'D', D'P = \(\frac{1}{2}\) C'D

Suy ra: OM = D'P (1)

Ta có: OM // AB, AB // C'D' nên OM // C'D' hay OM // D'P (2)

(1)(2) suy ra OMPD' là hình bình hành. Do đó: MP // OD'

Mà OD' thuộc (ACD')

Suy ra: MP // (ACD')

Mà MN thuộc (ACD') (câu c)

Do đó: (MNP) // (ACD').

Bài 3 trang 113

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A'B'.

a) Chứng minh rằng EF \(\parallel\) (BCC'B').

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC'B). Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng CF.

Gợi ý đáp án

a) Gọi H là trung điểm của BC

\(\triangle\)ABC có: E là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC

Suy ra: EH // AB

Mà AB // A'B'

Do đó: EH // A'B' hay EH // B'F (1)

Ta có: EH // AB nên \(\frac{EH}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}\)

Mà AB = A'B', B'F = \(\frac{1}{2}\) A'B'

Nên: EH = B'F (2)

(1)(2) suy ra: EHB'F là hình bình hành. Do đó: EF // B'H

Mà B'H thuộc (BCC'B')

Suy ra: EF // (BCC'B')

b) Gọi K là trung điểm AB

Dễ dàng chứng minh được FKBB' là hình bình hành

Ta có: FK // BB'

Mà BB' // CC'

Suy ra: FK // CC' (1)

Ta có: FK = BB', mà BB' = CC'

Do đó: FK = CC' (2)

(1)(2) suy ra FKCC' là hình bình hành

Mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Nên C'K cắt CF tại trung điểm của hai đường thẳng

mà C'K thuộc (AC'B), CF cắt (AC'B) tại I (đề bài)

Do đó: I là trung điểm của CF.