Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song Giải Toán 11 Cánh diều trang 105, 106, 107, 108, 109

Toán lớp 11 tập 1 trang 105, 106, 107, 108, 109 Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 4 Hai mặt phẳng song song được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 109. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 1 Bài 4 Hai mặt phẳng song song Cánh diều, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Toán lớp 11 tập 1 trang 109 - Cánh diều

Bài 1 trang 109

Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao?

Gợi ý đáp án

- Trường hợp a cắt b thì theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song thì ý kiến đúng.

- Trường hợp a không cắt b thì a // b

Ta có: a thuộc (P), a // (Q)

b thuộc (P), b // (Q)

mà a // b

Do đó: (P) // (Q). Vậy ý kiến đúng.

Bài 2 trang 109

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A', B', C', D'. Chứng minh rằng A'B'C'D' là hình bình hành.

Gợi ý đáp án

Theo định lí 2 ta có: Chỉ có một và một mặt phẳng qua A' // (P). Tương tự với các điểm B', C', D'.

Mà đề bài cho A', B', C', D' đồng phẳng

Suy ra mặt phẳng chứa A', B', C', D' song song với (P)

Do đó: A'D' // AD, B'C' // BC, AD // BC

Suy ra: A'D' // B'C' (1)

Tương tự ta có: A'B' // C'D' (2)

(1)(2) suy ra A'B'C'D' là hình bình hành.

Bài 3 trang 109

Cho tứ diện ABCD. Lấy \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng \((G_{1}G_{2}G_{3})\parallel (BCD)\).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((G_{1}G_{2}G_{3})\) với mặt phẳng (ABD).

Gợi ý đáp án

a) Gọi E, F, H là trung điểm của BC, CD, BD

Ta có: \(G_{1}\) là trọng tâm \(\triangle\)ABC, suy ra \(\frac{AG_{1} }{AE}=\frac{2}{3}\)

\(G_{3}\) là trọng tâm \(\triangle\)ABD, suy ra \(\frac{AG_{3} }{AH}=\frac{2}{3}\)

Suy ra \(\triangle\)AEH có \(\frac{AG_{1} }{AE}=\frac{AG_{3} }{AH}\) nên \(G_{1}G_{3}\) // EH

Mà EH thuộc (BCD) nên \(G_{1}G_{3}\) // (BCD).

Tương tự ta có \(G_{2}G_{3}\) // (BCD)

Do đó: \(G_{1}G_{2}G_{3}\) // (BCD).

b) Ta có: \(G_{1}G_{2}G_{3}\) // (BCD) nên \(G_{1}G_{2}\) // BD

mà \(G_{3}\) là điểm chung của hai mặt phẳng

Từ \(G_{3}\) kẻ \(G_{3}x\) sao cho \(G_{3}x\) // BD.

Vậy \(G_{3}x\) là giao tuyến cần tìm.

Bài 4 trang 109

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) \(\parallel\) (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính \(\frac{AN}{NC}\).

Gợi ý đáp án

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành)

Mà AD thuộc (AFĐ), BC thuộc (BEC)

Nên (AFD) // (BEC)

b) Trong (ABEF) kẻ đường thẳng d qua M // AF

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD)

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)

(1)(2) suy ra (IJH) trùng (P) và // (AFD)

Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD)

Suy ra: IH cắt AC tại N

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ

Gọi O là trung điểm của AB

Có M là trọng tâm \(\triangle\)ABE

Suy ra: \(\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}\)

Ta có: AB // CD suy ra: AI // CH

Định lí Ta-lét: \(\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{CH}\)

mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)

Suy ra: \(\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}\)

Ta có: AB // EF nên OI // EJ

Do đó: \(\frac{OI}{EJ}=\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}\)

Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)

Suy ra: \(\frac{OI}{IB}=\frac{1}{2}\) hay IB = 2OI

Ta có: \(\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{AO+OI}{2OI}\)

Mà OA = OB (O là trung điểm AB)

Nên \(\frac{AN}{NC}=\frac{OB+OI}{2OI}=2\)

Do đó: \(\frac{AN}{NC}=2\).