Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ôn tập Toán 9

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, các cách chứng minh, ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết kèm theo 7 bài tập tự luyện.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập đại số được thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy, tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên, phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9.

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)\)

Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số

- Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó

2. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình theo ẩn m.

Bước 2: Biện luận chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Kết luận.

3. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (Có đáp án)

Bài tập 1: Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ {mx + y = m + 1} \end{array}} \right.\) với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {2x + y = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)² với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = -m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Bài tập  2: Cho hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + my = - 4} \\ {mx - 3y = 5} \end{array}} \right.\)

a) Giải hệ phương trình với m = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y = - 4} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 3y = - 12} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {7x = - 7} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {y = - 2} \end{array}} \right.\)

Vậy khi m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; -2)

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m = 0 hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = - 4} \\ { - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {y = - \dfrac{5}{3}} \end{array}} \right.\)

Vậy với m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\frac{2}{m} \ne \frac{m}{{ - 3}} \Leftrightarrow {m^2} \ne - 6\) (luôn đúng, vì m² ≥ 0 với mọi m)

Do đó, với m ≠ 0 hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài tập 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1} \\ {mx + y = 2m} \end{array}} \right.\) với m là tham số

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {y \geqslant 1} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Học sinh tự giải hệ phương trình.

b) Xét hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {mx + y = 2m{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.\)

Từ (2) suy ra y = 2m – mx thay vào (1) ta được

x + m(2m – mx) = m + 1

<=> 2m² – m²x + x = m + 1

<=> (1 – m²)x = -2m² + m + 1

<=> (m² – 1)x = 2m² – m – 1 (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

<=> (3) có nghiệm duy nhất

m² – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1 (*)

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}} \\ {y = \dfrac{m}{{m + 1}}} \end{array}} \right.\)

IV. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 1\\ mx + y = 5 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và y trái dấu

b, x và y cùng dương

Bài 2: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\ mx - y = {m^2} - 2 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất

Bài 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 - m\\ 2x + y = 3\left( {m + 2} \right) \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\ {m^2}x - y = {m^2} + 2m \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên

Bài 5: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 1\\ x + my = m + 6 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1

Bài 6: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = 18\\ x - y = - 6 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9

Bài 7 Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ mx + y = 4 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.