Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ôn tập Toán 9

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Tìm m để PT có nghiệm duy nhất tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tìm, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm nghiệm của phương trình. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: một số bài toán thực tế lớp 9 thi vào 10, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)\)

Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số

- Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó

2. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình theo ẩn m.

Bước 2: Biện luận chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Kết luận.

3. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (Có đáp án)

Bài tập 1: Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ {mx + y = m + 1} \end{array}} \right.\) với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {2x + y = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)² với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = -m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Bài tập  2: Cho hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + my = - 4} \\ {mx - 3y = 5} \end{array}} \right.\)

a) Giải hệ phương trình với m = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y = - 4} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 3y = - 12} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {7x = - 7} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {y = - 2} \end{array}} \right.\)

Vậy khi m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; -2)

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m = 0 hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = - 4} \\ { - 3y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {y = - \dfrac{5}{3}} \end{array}} \right.\)

Vậy với m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\frac{2}{m} \ne \frac{m}{{ - 3}} \Leftrightarrow {m^2} \ne - 6\) (luôn đúng, vì m² ≥ 0 với mọi m)

Do đó, với m ≠ 0 hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài tập 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1} \\ {mx + y = 2m} \end{array}} \right.\) với m là tham số

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {y \geqslant 1} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Học sinh tự giải hệ phương trình.

b) Xét hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + my = m + 1{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {mx + y = 2m{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.\)

Từ (2) suy ra y = 2m – mx thay vào (1) ta được

x + m(2m – mx) = m + 1

<=> 2m² – m²x + x = m + 1

<=> (1 – m²)x = -2m² + m + 1

<=> (m² – 1)x = 2m² – m – 1 (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

<=> (3) có nghiệm duy nhất

m² – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1 (*)

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}} \\ {y = \dfrac{m}{{m + 1}}} \end{array}} \right.\)

IV. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 1\\ mx + y = 5 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và y trái dấu

b, x và y cùng dương

Bài 2: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\ mx - y = {m^2} - 2 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất

Bài 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 - m\\ 2x + y = 3\left( {m + 2} \right) \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\ {m^2}x - y = {m^2} + 2m \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên

Bài 5: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 1\\ x + my = m + 6 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1

Bài 6: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = 18\\ x - y = - 6 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9

Bài 7 Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ mx + y = 4 \end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.