Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m Ôn tập Toán 9

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 chương trình mới.

Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, cách chứng minh kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập chứng minh phương trình có nghiệm. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

ax²+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.(1)

Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax²+bx+c=0.

2. Cách giải phương trình bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 như sau:

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Khi:

• Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
• Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép \(x\ =\ \frac{-b}{2a}\)
• Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}{ }_{v a ̀} x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}\)

3. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2

Cho phương trình bậc 2: \(a \times 2+b x+c=0(a \neq 0)\). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x₁ và x₂, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn

\(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2}=\frac{c}{a} \end{array}\right.\)

Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x₁,x₂ thông qua định lý Viet.

• x₁+x₂=-b/a
• x₁₂+x₂₂=(x₁+x₂)²-2x1x₂=(b²-2ac)/a²

Định lý Viet đảo giả sử như tồn tại 2 số thực x₁, x₂ thỏa mãn x₁+x₂=S, x₁x₂=P thì x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình x₂-Sx+P=0

4. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bước 1: Tính Delta

Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận.

5. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ví dụ: Cho pt x² – (m-2)x +m-4=0 (x ẩn ; m tham số )

a) chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Xét Δ = (m- 2)²- 4*(m- 4)= m²- 4m+ 4- 4m+ 16= m²- 8m+ 20= (m- 4)²+ 4>= 4

Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

phương trình có hai nghiệm đối nhau khi <=> x₁+ x₂= 0 <=> m- 2= 0 =>m=2

Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Ví dụ 2. Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 3m + 4 = {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0;\forall m\)

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

b) Theo hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)} \\ {{x_1}.{x_2} = m - 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 2} \\ {2{x_1}.{x_2} = 2m - 6} \end{array}} \right.\)

không phụ thuộc vào tham số m

Ví dụ 3: Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{matrix} \Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.1\left( {2m - 5} \right) \hfill \\ \Delta = 4{m^2} - 12m + 22 \hfill \\ \Delta = {\left( {2m} \right)^2} - 2.2m.3 + 9 + 13 = {\left( {2m + 3} \right)^2} + 12 > 0\forall m \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Theo hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 2} \\ {{x_1}.{x_2} = 2m - 5} \end{array}\left( * \right)} \right.\)

Theo giả thiết ta có:

x₁ < 1 < x₂ => \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - 1 < 0} \\ {{x_2} - 1 > 0} \end{array}} \right.\)

=> (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

=> x₁x₂ – (x₁ + x₂) + 1 < 0 (**)

Từ (*) và (**) ta có:

(2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m

Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Ví dụ 4

Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)⁴ + 2.(-1)² - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.1⁴ + 2.1² - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 5

Chứng minh rằng phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂ R) (1)

Ta có: f(0) = 0³ + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

6. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bài tập 1: Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) (m là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Bài tập 2: Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)z + {m^2} + m - 1 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = (2x₁ – x₂)(2x₂ – x₁) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài tập 3: Cho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - \frac{1}{2} = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Bài tập 4: Chứng minh rằng phương trình (m ² - m + 3)x ²ⁿ - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. 

Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 luôn có nghiệm. 

Bài 6. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x⁵-5x³-1=0.

Bài 7. CMR phương trình:2x³-5x²+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 8. CMR phương trình: 3x³ + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Bài 9. CMR phương trình: 4x⁴ + 2x² – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).

Bài 10. CMR phương trình 2x³ – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn

Bài 11. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

(m² – 4)(x – 1)⁶ + 5x² – 7x + 1=0

Bài 12. Chứng minh rằng phương trình:

a. x⁵ + 7x⁴ – 3x² + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p)

c. x⁵ – 5x³ + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt

d. (m² – 1)x⁵ – (11m² – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)*