Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập Ôn tập Toán 9

Chứng minh đẳng thức là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, các cách chứng minh, ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tập tự luyện.

Cách chứng minh đẳng thức là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua bài học hôm nay sẽ giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về đẳng thức được thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy, tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên, phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9.

I. Cách chứng minh đẳng thức

Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Chúng ta biến đổi:

+ Cách 1: Vế trái và chứng minh bằng vế phải

+ Cách 2: Vế phải và chứng minh bằng vế trái

+ Cách 3: Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

II. Ví dụ chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: \(x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}\) với \(a \geqslant \frac{1}{8}\) là số tự nhiên.\({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)\)

Gợi ý đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức:

Ta có:

\(\begin{matrix} {x^3} = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Xét đa thức bậc hai \({x^2} + x + 2a\) có \(\Delta = 1 - 8a \geqslant 0\)

Khi \(a = \frac{1}{8}\) ta có: \(x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1\)

Khi \(a > \frac{1}{8}\) ta có: \(\Delta = 1 - 8a < 0\) nên đa thức có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy với \(a \geqslant \frac{1}{8}\) mọi ta có \(x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1\) là số tự nhiên.

Ví dụ  2: Biết rằng \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015\). Tính tổng x + y.

Gợi ý đáp án

Ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015\)

Kết hợp với giả thiết ta suy ra:

\(\begin{matrix} \sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y \hfill \\ \Leftrightarrow x + y = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy tổng x + y = 0

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\)

Gợi ý đáp án

Xét các biểu thức:

\(\begin{matrix} A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} \hfill \\ B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }} \hfill \\ \end{matrix}\)

Dễ thấy A > B

Ta có:

\(A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ....\)

\(+ \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)

Mặt khác ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt {a + 1} }} = \frac{{\sqrt {a + 1} - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt {a + 1} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {a + 1} - \sqrt a } \right)}} = \sqrt {a + 1} - \sqrt a\)

Suy ra \(A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8\)

=> A > B

=> 2A > A + B = 8

=> A > 4

III. Bài tập chứng minh đẳng thức (Có đáp án)

Bài tập 1. Chứng minh: (x² - xy - y).(x + y) + xy(y + 1) = x³ - y²

Lời giải

Ta có: VT = (x² - xy - y).(x + y) + xy(y + 1)

= x³ + x²y - x²y - xy² - xy - y² + xy² + xy

= x³ - y² = VP

Bài tập 2. Chứng minh 2x + y + y² = (1 - xy + y).(2x + y) + xy(2x + y - 2)

Chứng minh.

Ta có VP = (1 - xy + y).(2x + y) + xy(2x + y -2)

= 2x + y - 2x²y - xy² + 2xy + y² + 2x²y + xy² - 2xy

= 2x + y + y² = VT

Bài tập 3. Chứng minh: (x²y + xy²).(x - y) = xy(x - y).(x + y)

Chứng minh

+ Ta có:

VT = (x²y + xy²).(x - y)

= x³y - x²y² + x²y² - xy³ = x³y - xy³ (1)

VP = xy(x - y).(x + y)

= xy.(x² - y²) = x³y - xy³ (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT= = VP.

Bài tập 4. Chứng minh rằng: y.(x + y) + (x - y).(x + y) = x(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có: VT = y.( x+ y) + (x – y).(x+ y)

= xy + y² + x² + xy - xy - y²

= xy + x²

= x(y + x)

= VP

Bài tập 5. Chứng minh rằng: x(x + 1 - 2y) + y(1 - 2y) = (xy + x + y).(x - 2y + 1) - xy(x - 2y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = (xy + x + y).(x - 2y + 1) - xy(x - 2y)

= x²y - 2xy² + xy + x² - 2xy + x + xy - 2y² + y - x²y + 2xy²

= (x²y - x²y) + (- 2xy² + 2xy²) + (xy - 2xy + xy) + x² + x + y - 2y²

= -2xy + x² + x + y - 2y² (1)

VT = x(x + 1 - 2y) + y(1 - 2y)

= x² + x - 2xy + y - 2y² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: VT = VP.

Bài tập 6. Chứng minh (xy + x - 1).(x - y) - xy(x - y + 1) = -2xy - x + y

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x - 1)(x - y) - xy(x - y + 1)

= x²y - xy² + x² - xy - x + y - x²y + xy² - xy

= (x²y - x²y) + (xy² - xy²) + (-xy - xy) - x + y

= -2xy - x + y

= VP

Bài tập 7. Chứng minh y(x² - 2x + 2) = x(x + xy - 1) + (x - 2y).(x - 1) - 2x(x - 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = x(x + xy - 1) += (x - 2y).(x - 1) - 2x(x - 1)

= x² + x²y - x + x² - x - 2xy + 2y - 2x² + 2x

= x²y - 2xy + 2y

= y(x² - 2x + 2)

= VT

Bài tập 8. Chứng minh (x + y - xy).(x - 1) - x(x + 2y - 2) = -y(x² + 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VT = (x + y - xy).(x - 1) - x(x + 2y - 2)

= x² - x + xy - y - x²y + xy - x - x² - 2xy + 2x

= (x² - x²) + (2x - x - x) + (xy + xy - 2xy) - x²y - y

= -x²y - y

= -y(x² + 2)

= VP

Bài tập 9. Chứng minh x(x + y²) - y(x - y) = ( -xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

VP = (-xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x - y)

= -x²y - xy + x³ + x² + xy² + y² - x³ + x²y

= (-x²y + x²y) + (x³ - x³) + x² + y² + xy² - xy

= x² + y² + xy² - xy (1)

VT = x(x + y²) - y(x - y)

= x² + xy² - xy + y² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x(x + y²) - y(x - y) = (-xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x + y)

Bài tập 10. Chứng minh (xy + x + 1).(y - 2) + xy + 2 = y(xy + 1) - 2x

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x + 1).(y - 2) + xy + 2

= xy² - 2xy + xy - 2x + y - 2 + xy + 2

= xy² + (xy + xy - 2xy) - 2x + y + (2 - 2)

= xy² - 2x + y

= (xy² + y) - 2x

= y(xy + 1) - 2x

VP

IV. Bài tập tự luyện chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng

\(\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)

Bài 2: Chứng minh rằng

\(2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1\) với mọi số nguyên dương \(n \geqslant 2\)

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 ta có:

\(\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + .... + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}\)

Bài 4: Chứng minh rằng

\(\frac{{43}}{{44}} < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2002\sqrt {2001} + 2001\sqrt {2002} }} < \frac{{44}}{{45}}\)

Bài 5. Chứng minh: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz).

Bài 6 Chứng minh: (x + y)² + (x – y)² = 2x².

Bài 7. Chứng minh: (x + y + z)(x – y – z) = x² – (y – z)².

Bài 8. Chứng minh: (x – y)(x² + xy +y) + y²(x – y + 1) – xy = x³ – y³.

Bài 9. Chứng minh: x²(x – y)² + 2xy(x² – y²) – y²(x² + y²) = x⁴ – y⁴ – 2xy³.