Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập Ôn tập Toán 9

Chứng minh đẳng thức tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách chứng minh, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án và tự luyện khác nhau ở nhiều mức độ.

Cách chứng minh đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 8, lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Đây là một trong những dạng toán khó thường xuất hiện vào câu hỏi để lấy điểm tối đa. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về đẳng thức. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

I. Cách chứng minh đẳng thức

Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Chúng ta biến đổi:

+ Cách 1: Vế trái và chứng minh bằng vế phải

+ Cách 2: Vế phải và chứng minh bằng vế trái

+ Cách 3: Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

II. Ví dụ chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: \(x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}\) với \(a \geqslant \frac{1}{8}\) là số tự nhiên.\({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)\)

Gợi ý đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức:

Ta có:

\(\begin{matrix} {x^3} = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Xét đa thức bậc hai \({x^2} + x + 2a\) có \(\Delta = 1 - 8a \geqslant 0\)

Khi \(a = \frac{1}{8}\) ta có: \(x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1\)

Khi \(a > \frac{1}{8}\) ta có: \(\Delta = 1 - 8a < 0\) nên đa thức có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy với \(a \geqslant \frac{1}{8}\) mọi ta có \(x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1\) là số tự nhiên.

Ví dụ  2: Biết rằng \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015\). Tính tổng x + y.

Gợi ý đáp án

Ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015\)

Kết hợp với giả thiết ta suy ra:

\(\begin{matrix} \sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y \hfill \\ \Leftrightarrow x + y = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy tổng x + y = 0

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\)

Gợi ý đáp án

Xét các biểu thức:

\(\begin{matrix} A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} \hfill \\ B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }} \hfill \\ \end{matrix}\)

Dễ thấy A > B

Ta có:

\(A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ....\)

\(+ \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)

Mặt khác ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt {a + 1} }} = \frac{{\sqrt {a + 1} - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt {a + 1} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {a + 1} - \sqrt a } \right)}} = \sqrt {a + 1} - \sqrt a\)

Suy ra \(A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8\)

=> A > B

=> 2A > A + B = 8

=> A > 4

III. Bài tập chứng minh đẳng thức (Có đáp án)

Bài tập 1. Chứng minh: (x² - xy - y).(x + y) + xy(y + 1) = x³ - y²

Lời giải

Ta có: VT = (x² - xy - y).(x + y) + xy(y + 1)

= x³ + x²y - x²y - xy² - xy - y² + xy² + xy

= x³ - y² = VP

Bài tập 2. Chứng minh 2x + y + y² = (1 - xy + y).(2x + y) + xy(2x + y - 2)

Chứng minh.

Ta có VP = (1 - xy + y).(2x + y) + xy(2x + y -2)

= 2x + y - 2x²y - xy² + 2xy + y² + 2x²y + xy² - 2xy

= 2x + y + y² = VT

Bài tập 3. Chứng minh: (x²y + xy²).(x - y) = xy(x - y).(x + y)

Chứng minh

+ Ta có:

VT = (x²y + xy²).(x - y)

= x³y - x²y² + x²y² - xy³ = x³y - xy³ (1)

VP = xy(x - y).(x + y)

= xy.(x² - y²) = x³y - xy³ (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT= = VP.

Bài tập 4. Chứng minh rằng: y.(x + y) + (x - y).(x + y) = x(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có: VT = y.( x+ y) + (x – y).(x+ y)

= xy + y² + x² + xy - xy - y²

= xy + x²

= x(y + x)

= VP

Bài tập 5. Chứng minh rằng: x(x + 1 - 2y) + y(1 - 2y) = (xy + x + y).(x - 2y + 1) - xy(x - 2y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = (xy + x + y).(x - 2y + 1) - xy(x - 2y)

= x²y - 2xy² + xy + x² - 2xy + x + xy - 2y² + y - x²y + 2xy²

= (x²y - x²y) + (- 2xy² + 2xy²) + (xy - 2xy + xy) + x² + x + y - 2y²

= -2xy + x² + x + y - 2y² (1)

VT = x(x + 1 - 2y) + y(1 - 2y)

= x² + x - 2xy + y - 2y² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: VT = VP.

Bài tập 6. Chứng minh (xy + x - 1).(x - y) - xy(x - y + 1) = -2xy - x + y

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x - 1)(x - y) - xy(x - y + 1)

= x²y - xy² + x² - xy - x + y - x²y + xy² - xy

= (x²y - x²y) + (xy² - xy²) + (-xy - xy) - x + y

= -2xy - x + y

= VP

Bài tập 7. Chứng minh y(x² - 2x + 2) = x(x + xy - 1) + (x - 2y).(x - 1) - 2x(x - 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = x(x + xy - 1) += (x - 2y).(x - 1) - 2x(x - 1)

= x² + x²y - x + x² - x - 2xy + 2y - 2x² + 2x

= x²y - 2xy + 2y

= y(x² - 2x + 2)

= VT

Bài tập 8. Chứng minh (x + y - xy).(x - 1) - x(x + 2y - 2) = -y(x² + 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VT = (x + y - xy).(x - 1) - x(x + 2y - 2)

= x² - x + xy - y - x²y + xy - x - x² - 2xy + 2x

= (x² - x²) + (2x - x - x) + (xy + xy - 2xy) - x²y - y

= -x²y - y

= -y(x² + 2)

= VP

Bài tập 9. Chứng minh x(x + y²) - y(x - y) = ( -xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

VP = (-xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x - y)

= -x²y - xy + x³ + x² + xy² + y² - x³ + x²y

= (-x²y + x²y) + (x³ - x³) + x² + y² + xy² - xy

= x² + y² + xy² - xy (1)

VT = x(x + y²) - y(x - y)

= x² + xy² - xy + y² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x(x + y²) - y(x - y) = (-xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x + y)

Bài tập 10. Chứng minh (xy + x + 1).(y - 2) + xy + 2 = y(xy + 1) - 2x

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x + 1).(y - 2) + xy + 2

= xy² - 2xy + xy - 2x + y - 2 + xy + 2

= xy² + (xy + xy - 2xy) - 2x + y + (2 - 2)

= xy² - 2x + y

= (xy² + y) - 2x

= y(xy + 1) - 2x

VP

IV. Bài tập tự luyện chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng

\(\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)

Bài 2: Chứng minh rằng

\(2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1\) với mọi số nguyên dương \(n \geqslant 2\)

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 ta có:

\(\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + .... + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}\)

Bài 4: Chứng minh rằng

\(\frac{{43}}{{44}} < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2002\sqrt {2001} + 2001\sqrt {2002} }} < \frac{{44}}{{45}}\)