Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Điểm cố định của hàm số

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết kèm theo 10 bài tập tự luyện.

Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9. Qua tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về hàm số được thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy, tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên, phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9.

I. Bài toán tìm điểm cố định với mọi m

+ Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số (d_m) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số (d_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

- Hoặc mọi điểm của (d_m) đều di động

- Hoặc có một vài điểm của (d_m) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số (d_m). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

+ Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

Chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m là một vấn đề quan trọng trong toán học. Để hiểu rõ về cách chứng minh điều này, chúng ta có thể áp dụng lý thuyết sau:

- Giả định ban đầu: Giả sử ta có một hàm số f(x, m) và muốn chứng minh rằng đồ thị của nó luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m.

- Tìm điểm cố định: Đầu tiên, ta cần xác định các điểm cố định của đồ thị hàm số. Điều này có nghĩa là ta cần tìm các giá trị x sao cho f(x, m) luôn bằng một giá trị cố định, ví dụ như k.

- Chứng minh điểm cố định: Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng khi m thay đổi, các giá trị x tương ứng với điểm cố định vẫn duy trì không đổi. Điều này có thể được thực hiện bằng cách giải phương trình f(x, m) = k và chứng minh rằng giá trị x luôn giữ nguyên khi m thay đổi.

II. Ví dụ về bài toán cách tìm điểm cố định

Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý đáp án

Gọi điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua, sau đó tìm giá trị x₀ và y₀ thỏa mãn.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ - m với mọi m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ - m với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3x₀ - m = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ - 1) + (y₀ - 3x₀) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_o} + 1 = 0\\ {y_0} - 3{x_0} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {y_0} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;3} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (2m - 3)x₀ + m - 1 với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 với mọi m

⇔ y₀ - 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-2x₀ + 1) + (y₀ - 3x₀ - 1) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x_o} + 1 = 0\\ {y_0} - 3{x_0} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = \frac{1}{2}\\ {y_0} = \frac{5}{2} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ _{\(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)}

Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m - 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = mx₀ + 3m - 1 với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3m + 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ - 3) + (y₀ + 1) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_0} - 3 = 0\\ {y_0} + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = - 3\\ {y_0} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 3; - 1} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Bài 4: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (m - 1)x₀ + 2020 với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - x₀ - 2020 = 0 với mọi m

⇔ -mx₀ + (y₀ - x₀ - 2020) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} - {x_0} - 2020 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} = 2020 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;2020} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)

III. Bài tập đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài :1 Cho hàm số y = mx - 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m:

a, y = (m - 2)x + 3

b, y = mx + (m + 2)

c, y = (m - 1)x + (2m - 1)

Bài 3: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m - 1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm đó

Bài 6: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - 2m (d_m). Chứng minh rằng đồ thị hàm số (d_m) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

Bài 7: Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Bài 8: Chứng minh đồ thị hàm số y = mx - m - 3 luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m