Hệ phương trình đối xứng loại 2 Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1. Vậy sau đây là Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 mời các bạn cùng theo dõi tại đây. 

1. Hệ đối xứng loại 2 là gì?

Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia

Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình thì \(\left( {{y_0};{x_0}} \right)\) cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ đối xứng loại 2

Cách 1

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Bước 1: Cộng hoặc trừ hai vế của hai hệ phương trình thu được phương trình. Biến đổi phương trình này về phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ giữa x và y đơn giản.

Bước 2: Thế x theo y (hoặc y theo x) vào một trong hai phương trình của hệ ban đầu.

Bước 3: Giải và tìm ra nghiệm x (hoặc y). Từ đó suy ra nghiệm còn lại.

Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách 2:

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

+ Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được \(\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0\)

+ Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

3. Ví dụ giải hệ đối xứng loại 2

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + 3x + \sqrt {2x + 1} = y + 1} \\ {{y^3} + 3y + \sqrt {2y + 1} = x + 1} \end{array}} \right.\)

Gợi ý đáp án

Điều kiện \(x \geqslant - \frac{1}{2};y \geqslant - \frac{1}{2}\)

Ta kiểm tra được \(x = y = - \frac{1}{2}\) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp \(x + y \ne - 1\). Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

\(\begin{matrix} {x^3} + 3x - 1 + \sqrt {2x + 1} - \left( {{y^3} + 3y - 1 + \sqrt {2y - 1} } \right) = y - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2}} \right] + 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{2\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} }} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2} + 4 + \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} }}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = y \hfill \\ \end{matrix}\)

Khi x = y xét phương trình

\(\begin{matrix} {x^3} + 2x - 1 + \sqrt {2x + 1} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 1} \right) + \dfrac{{2x}}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 1 + \dfrac{2}{{\sqrt {2x + 1} + 1}}} \right] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 2y - \sqrt x } \\ {{y^2} = 2x - \sqrt y } \end{array}} \right.\)

Gợi ý đáp án

Điều kiện \(x,y \geqslant 0\). Trừ hai phương trình của hệ ta thu được:

\(\begin{matrix} {x^2} + \sqrt x - \left( {{y^2} + \sqrt y } \right) = 2\left( {y - x} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left[ {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)} \right] = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Vì \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) > 0\) nên phương trình đã cho tương đương với x = y

\(\begin{matrix} {x^2} - 2x + \sqrt x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + \sqrt x = 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x - 1} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 0) = (1; 1) = \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 2

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, \(\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.\)	2, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.\)
3, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.\)	4, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.\)
5, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.\)	6, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.\)
7, \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.\)	8, \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.\)
9, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.\)	10, \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.\)