Phương trình trùng phương Ôn tập Toán 9

Phương trình trùng phương là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Cách giải phương trình trùng phương tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số ví dụ và bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là Cách giải phương trình trùng phương, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Phương trình trùng phương là gì?

+ Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc 4 có dạng: \(a{x^4} + b{x^2} + x = 0\) với \(a \ne 0\)

2. Cách giải phương trình trùng phương

Cho phương trình ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Bước 1: Đặt x² = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at² + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.

Bước 3: Giải phương trình x² = t để tìm nghiệm .

Bước 4: Kết luận.

3. Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương

+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.

+) Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm ⇒ phương trình (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.

+) Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.

4. Ví dụ về giải phương trình trùng phương

Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: \(\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0\)

Lời giải:

Với \(m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2\), phương trình đã cho trở thành:

\(3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)(loại)

Với \(m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2\), phương trình đã cho là phương trình trùng phương:

\(\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0\)(1)

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\)

Phương trình trở thành \(\left( {m + 2} \right){t^2} + 3t - 1 = 0\) (2)

Có \(\Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) = 9 + 4m + 8 = 17 + 4m\),

\(P = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{{m + 2}} \ne 0\)và \(S = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}} \ne 0\)

Có P khác 0 nên phương trình không có nghiệm bằng 0 nên phương trình (1) không có 3 nghiệm phân biệt hoặc 1 nghiệm

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ \frac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0\\ \frac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \ge \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 17}}{4}\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 17}}{4} < m < - 2\)

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt âm

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P < 0\\ S > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 17 + 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ m + 2 < 0\\ m + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow 17 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 17}}{4}\)

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\(\frac{{ - 17}}{4} < m < - 2\), phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

\(m < \frac{{ - 17}}{4}\), phương trình (1) vô nghiệm

5. Bài tập giải phương trình trùng phương

Bài 1: Giải các phương trình trùng phương dưới đây:

a, \(3{x^4} - 2{x^2} - 5 = 0\)

b, \({x^4} + 3{x^2} - 6 = 0\)

c, \(4{x^4} + {x^2} - 5 = 0\)

d, \(3{x^4} + 4{x^2} + 1 = 0\)

e, \(2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0\)

f, \(3{x^4} + 10{x^2} + 3 = 0\)

Bài 2: Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm?

a, \({x^4} + 8{x^2} + 12 = 0\)

b, \(- 1,5{x^4} - 2,6{x^2} + 1 = 0\)

c, \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} + 2{x^2} - 1 - \sqrt 2 = 0\)

d, \(- {x^4} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right){x^2} = 0\)

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^4} - 2{x^2} + m - 1 = 0\) có 4 nghiệm phân biệt