Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Ôn tập Toán 9

Cách tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, các cách chứng minh, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án giải chi tiết.

Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm x để A nhận giá trị nguyên được huận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên

1. Cách tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng phân thức mà chứa tử thức là số nguyên, tìm giá trị của biến để mẫu thức là ước của tử thức.

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng \(A = f\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}\) trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.

Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.

Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.

Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ra có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

Bước 2: Rút gọn biểu thức A.

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn.

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

2. Ví dụ tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên

Ví dụ 1: Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = \frac{7}{{\sqrt x - 8}}\) với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các số nguyên x để M = A. B đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: \(A = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\)

b) Ta có:

\(M = A.B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{7}{{\sqrt x + 8}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow 0 < M \leqslant \frac{7}{3}\)

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Với M = 2 ta có:

\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Ví dụ: Cho biểu thức: \(A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}\) (điều kiện \(x > 0,x \ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}\)

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có: \(x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1\)

Vậy 0 < A \(= \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2\)

Vì A nguyên nên A = 1 \(\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1\) => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

\(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0\)

Trường hợp 1: Nếu A = 0 \(\sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset\)

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

\(\begin{matrix} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\} \hfill \\ A \in \mathbb{Z},A > 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 \(\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2\) => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Ví dụ 3

Cho biểu thức \(M = \frac{{a + 1}}{{\sqrt a }} + \frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} + \frac{{{a^2} - a\sqrt a + \sqrt a - 1}}{{\sqrt a - a\sqrt a }}\) với a > 0, a ≠ 0

a) Chứng minh rằng M > 4

b) Với những giá trị của a thì biểu thức \(N = \frac{6}{M}\) nhận giá trị nguyên?

Gợi ý đáp án 

a) Do a > 0, a ≠ 0 nên \(\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} = \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} = \frac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\)

Và

\(\begin{matrix} \dfrac{{{a^2} - a\sqrt a + \sqrt a - 1}}{{\sqrt a - a\sqrt a }} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) - \sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {1 - a} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {1 - a} \right)}} = \dfrac{{ - a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} \hfill \\ \Rightarrow M = \dfrac{{a + 1}}{{\sqrt a }} + 2 \hfill \\ \end{matrix}\)

Do a > 0, a ≠ 0 nên \({\left( {\sqrt a - 1} \right)^2} > 0 \Rightarrow a + 1 > 2\sqrt a\)

=> \(M > \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }} + 2 = 4\)

b) Ta có: \(0 < N = \frac{6}{M} < \frac{3}{2}\) do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1

mà N = a => \(\frac{{6\sqrt a }}{{a + 1 + 2\sqrt a }} = 1\)

\(\begin{matrix} \Rightarrow a - 4\sqrt a + 1 = 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt a - 2} \right)^2} = 3 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt a = 2 + \sqrt 3 } \\ {\sqrt a = 2 - \sqrt 3 } \end{array}} \right.\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy N nguyên khi và chỉ khi \(a = {\left( {2 \pm \sqrt 3 } \right)^2}\)

3. Bài tập tìm giá trị x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a,\(\frac{2}{{x - 1}}\)                                   b,\(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)                                     c,\(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a,\(\frac{2}{{x - 1}}\) có điều kiện x ≠ 1

Để \(\frac{2}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên thì \(2 \vdots \left( {x - 1} \right)\)⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta có bảng:

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức \(\frac{2}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên

b, \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\)có điều kiện x ≠ 1

Ta có: \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\)

Để \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên thì \(1 \vdots \left( {x - 1} \right)\)⇔ x - 1 ∈ Ư(1) = {± 1}

Ta có bảng:

Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức \(\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) nhận giá trị nguyên

c, \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)có điều kiện là x ≥ 0

\(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\)

Để \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) nhận giá trị nguyên thì \(3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng:

\(\sqrt x + 1\)	-3	-1	1	3
\(\sqrt x\)	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) nhận giá trị nguyên

Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}\)                                             b,\(\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}\) có điều kiện là x ≥ 0

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + 3 \ge 3 > 0 \end{array} \right.\). Suy ra ta có \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \ge 0\forall x \ge 0\) (1)

Lại có \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = \frac{2}{{\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x \ge 0\) có \(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3\)

\(\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có:\(0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0\)

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)có điều kiện là x ≥ 0

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + \sqrt x + 1 \ge 0 \end{array} \right.\forall x \ge 0\)(1)

Lại có \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x \ge 0\) có

\(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}\)(2)

Từ (1) va (2) ta có \(0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \le \frac{2}{3}\) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên \(\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0\). Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = \frac{7}{{\sqrt x - 8}}\) với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các số nguyên x để M = A. B đạt giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: \(A = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\)

b) Ta có:

\(M = A.B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{7}{{\sqrt x + 8}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow 0 < M \leqslant \frac{7}{3}\)

Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2

Với M = 1 ta có:

\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Với M = 2 ta có:

\(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Bài 4: Cho biểu thức: \(A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}\) (điều kiện \(x > 0,x \ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả: \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}\)

b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:

Cách 1: Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có: \(x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1\)

Vậy 0 < A \(= \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2\)

Vì A nguyên nên A = 1 \(\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1\) => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

\(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0\)

Trường hợp 1: Nếu A = 0 \(\sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset\)

Trường hợp 2: Nếu A khác 0

\(\begin{matrix} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\} \hfill \\ A \in \mathbb{Z},A > 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 \(\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2\) => x = 0 (Loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức: \(A = 1 - \left( \frac{2}{1 + 2\sqrt{x}} - \frac{5\sqrt{x}}{4x - 1} - \frac{1}{1 - 2\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x} - 1}{4x + 4\sqrt{x} + 1}\)

a. Rút gọn A;

b. giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

ĐK: \(x\geq 0;x \neq \frac{1}{4};x \neq 1\)

A = 1 - \(\left( \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} - \frac{5\sqrt{x}}{\left( 2\sqrt{x} + 1 \right)(2\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{2\sqrt{x} - 1} \right):\frac{\sqrt{x} - 1}{\left( 2\sqrt{x} + 1 \right)^{2}}\)

A = 1 - \(\frac{4\sqrt{x} - 2 - 5\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1}{(2\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)}.\frac{(2\sqrt{x} + 1)^{2}}{\sqrt{x} - 1}\)

A = 1 - \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} - 1}.\frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = 1 - \frac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} - 1} = \frac{2}{1 - 2\sqrt{x}}\)

b. Để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì \(\frac{2}{1 - 2\sqrt{x}}\) nguyên

Do \(\frac{2}{1 -2\sqrt{x}}\in Z\) nên \(1 - 2\sqrt{x}\) là số hữu tỉ.

Suy ra x là số chính phương, do đó \(1 - 2\sqrt{x} \in\)Z =>\(1 - 2\sqrt{x} \in\)Ư(2)

Do \(x \geq 0;x \neq 1;x \in Z\) và \(1 - 2\sqrt{x} \in\)Ư(2) => x = 0

Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên.