Tìm m để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến Ôn tập Toán 9

Tìm m để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Tìm giá trị m để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến tổng hợp kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về hàm số bậc nhất. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

1. Hàm số bậc nhất là gì?

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a; b là các số cho trước và a ≠ 0.

- Đặc biệt khi b = 0 thì hàm số có dạng y = ax

2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị và:

+ Hàm số bậc nhất đồng biến trên khi a > 0

+ Hàm số bậc nhất đồng biến trên khi a < 0

3. Ví dụ hàm số đồng biến, nghịch biến lớp 9

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (2 - m)x + m - 1

a) Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?

b) Tìm m để hàm số đồng biến?

c)Tìm m để hàm số nghịch biến?

Gợi ý đáp án

a, Để hàm số y = (2 - m)x + m - 1 là hàm số bậc nhất thì

2 − m ≠ 0

=> m ≠ 2

Vậy để hàm số là hàm số bậc nhất thì m ≠ 2

b, Để hàm số y = (2 - m)x + m - 1 đồng biến thì

2 - m > 0

=> m < 2

Vậy để hàm số đồng biến thì m < 2

c, Để hàm số y = (2 - m)x + m – 1 nghịch biến thì

2 - m < 0

=> m > 2

Vậy để hàm số nghịch biến thì m > 2.

Ví dụ 2 Cho các hàm số y = 2mx + m + 1 (1) và y = (m – 1)x + 3 (2). Xác định giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến.

Gợi ý đáp án

Để hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m > 0} \\ {m - 1 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m < 1} \end{array}} \right.} \right.\)=> 0 < m < 1

Vậy 0 < m < 1 thì hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = (8m - 16)x + 21

a) Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?

b) Tìm m để hàm số đồng biến?

c)Tìm m để hàm số nghịch biến?

Gợi ý đáp án

a, Để hàm số y = (8m - 16)x + 21 là hàm số bậc nhất thì

8 m − 16 ≠ 0

=> m ≠ 2

Vậy để hàm số là hàm số bậc nhất thì m ≠ 2

b, Để hàm số y = (8m - 16)x + 21 đồng biến thì 8m - 16 > 0

=> m > 2

Vậy để hàm số đồng biến thì m > 2

c, Để hàm số y = (8m - 16)x + 21 nghịch biến thì

8m - 16 < 0

=> m < 2

Vậy để hàm số nghịch biến thì m < 2

4. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến có đáp án

Bài tập 1: Tìm m để hàm số _{\(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1\)} nghịch biến trên khoảng _{\(\left( 0,+\infty \right)\)}

\(A. m\ge 1\)	\(B. m\le -1\)
\(C.m\ge -1\)	\(D. m\le 0\)

Hướng dẫn giải

Ta có: _{\(y'=-3{{x}^{2}}+6x+3m\)}

Hàm số nghịch biến trên _{\(\left( 0,+\infty \right)\Leftrightarrow y'\le 0\)} với mọi _{\(x\in \left( 0,+\infty \right)\)}

\(\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0,+\infty \right)\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x,\forall x\in \left( 0,+\infty \right)\)

Xét _{\(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\)} với _{\(x\in \left( 0,+\infty \right) f'\left( x \right)=2x-2,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1\)}

Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả _{\(m\le -1\)}

Đáp án B

Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số _{\(y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-1\)} đồng biến trên khoảng _{\(\left( 0,3 \right)\)}.

\(A. m\le -3\)	\(B. m\ge \frac{1}{5}\)
\(C.m\ge \frac{11}{3}\)	\(D. m\ge \frac{12}{7}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: _{\(y'=-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+3+m\)}

Hàm số đồng biến trên _{\(\left( 0,3 \right)\Rightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0,3 \right)\)}

\(\Rightarrow -{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\)

Xét hàm số: _{\(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\)} với _{\(\forall x\in \left( 0,3 \right) \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1},\forall x\in \left( 0,3 \right)\)}

Lập bảng biến thiên kết luận \(m\ge \frac{12}{7}\)

Đáp án D

Bài tập 3: Tìm m để hàm số _{\(y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}\)} đồng biến trên _{\(\left( 0,\frac{\pi }{4} \right)\)}

\(A. m\ge 2\)	\(B. m\le 0\)
\(C.1\le m<2\)	\(D. \left[ \begin{matrix} m\le 0 \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(y'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}\left( \tan x \right)'=\frac{-m+2}{{{\left( \tan x-m \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\)

Để hàm số đồng biến trên _{\(\left( 0,\frac{\pi }{4} \right)\)} thì:

\(y'>0,\forall x\in \left( 0,\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -m+2>0 \\ m\ne \tan x,x\in \left( 0,\dfrac{\pi }{4} \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<2 \\ m\notin \left( 0,1 \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m\le 0 \\ 1\le m<2 \\ \end{matrix} \right.\)

Đáp án D

5. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: \(y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x}\) nghịch biến trên khoảng _{\(\left( 0,\frac{\pi }{6} \right)\)}

\(A. m\ge \frac{5}{4}\)	\(B. m\le \frac{5}{4}\)
\(C. m\ge \frac{5}{2}\)	\(D. m\le \frac{5}{2}\)

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số _{\(y=\frac{\left( m+1 \right)x+2m+2}{x+m}\)} nghịch biến trên khoảng _{\(\left( -1,+\infty \right)\)}

\(A. -1< m <2\)	\(B. m\ge 1\)
\(C. 1\le m<2\)	\(D. \left[ \begin{matrix} m>2 \\ m<1 \\ \end{matrix} \right.\)

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số _{\(y=\frac{mx+4}{x+m}\)} nghịch biến trên _{\(\left( -\infty ,1 \right)\)}

\(A. -2\le m\le 1\)	\(B. -2\le m\le -1\)
\(C. m\in \varnothing\)	\(D. -2 < m <2\)

Câu 4: Tìm m để hàm số _{\(y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-1}\)} đồng biến trên _{\(\left( 2,+\infty \right)\)}

\(A. m\ge -1\)	\(B. m\ge 2\)
\(C.m\le 3\)	\(D. m\le 7\)

Câu 5: Tìm m để hàm số _{\(y=\sin x+mx\)} đồng biến trên _{\(\mathbb{R}\)}

\(A. m\ge -1\)	\(B. m\ge 2\)
\(C.m\ge 1\)	\(D. m\le 7\)

Câu 6: Tìm m để hàm số _{\(y=\frac{\sin x-1}{\sin x+m}\)} nghịch biến trên \(\left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\)

\(A. m\ge 0\)	\(B. m\le 0\)
\(C.m\ge -1\)	\(D. m\le 1\)

Câu 7: Tìm k để các hàm số sau:

a, y= 5x - (2-x)k đồng biến, nghịch biến.

b, y= (k² - 4)x - 2 đồng biến.

c, y= (-k² + k - 1)x - 7 nghịch biến.

d, y= (4 - 4k + k²)x + 2 đồng biến.