Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là tài liệu vô cùng hữu ích gồm lý thuyết kèm theo ví dụ minh họa và một số bài tập tự luyện. Qua đó sẽ giúp học sinh lớp 8 ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

Phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử sau đó nhóm các hạng tử thích hợp để làm xuất hiện các nhân tử chung hay các hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây là một trong những dạng bài tập trọng tâm, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra. Vì vậy các em học sinh hãy ghi nhớ kiến thức để giải bài tập thật tốt, chỉn chu. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu Cách tính giá trị biểu thức lớp 8, bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Định nghĩa về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Một số ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 4x² + 6x = 2x(2x + 3)

b) x² - 3x + xy - 3y = (x² - 3x)+ (xy - 3y) = x(x - 3) + y(x - 3) = (x + y)(x - 3)

c) x³ + 3x² + 3x + 1 = (x+1)³

d) x⁴ - y⁴ = (x² - y² )(x² + y²) = (x - y)(x + y)(x² + y²)

Qua các ví dụ trên, chúng ta có thể thấy việc phân tích đa thức thành nhân tử được thực hiện thông qua các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử hay dùng hằng đẳng thức. Tuy nhiên, có một số đa thức mà các phương pháp trên đều không áp dụng được, khi đó ta sẽ nghĩ đến phương pháp tách hạng tử. 

II. Phương pháp tách hạng tử

1. Phương pháp tách hạng tử

- Ta có thể tách một hạng tử nào đó thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

2. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

a) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có nghiệm

Phương pháp chung

• Bước 1: Tìm tích ac rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
• Bước 2: Chọn hai thừa số trong các tích trên có tổng bằng b
• Bước 3: Tách bx = a_ix + c_ix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp

Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = 3x² + 8x + 4 thành nhân tử

Gợi ý đáp án

Phân tích ac:

ac = 12 = 3.4 = (-3).(-4) = 2.6 = (-2). (-6) = 1.12 = (-1).(-12)

Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích ac = 2.6

Tách 8x = 2x + 6x

=> 3x² + 8x + 4 = 3x² + 2x + 6x + 4 = (3x² + 2x) + (6x + 4)

= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

b) Đối với đa thức hai biến dạng f(x; y) = ax² + bxy + cy²

Phương pháp chung

Phương pháp 1: Xem đa thức f(x; y) = ax² + bxy + cy² là đa thức một biến x

Khi đó hệ số lần lượt là a, by, xy² và ta áp dụng phương pháp như với đa thức bậc hai một biến.

Phương pháp 2: Viết đa thức về dạng \(f\left( {x;y} \right) = {y^2}\left[ {a{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + b{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}} \right]\). Đặt \(t = \frac{x}{y}\) và phân tích đa thức at² + bt + c theo phương pháp như với đa thức bậc hai một biến.

Ví dụ: Phân tích đa thức 2x² – 5xy + 2y² thành nhân tử

Gợi ý đáp án

Cách 1: Xét đa thức f(x) = 2x² – 5xy + 2y²

Khi đó ta có a = 2; b = -5y; c = 2y²

Ta có ac = y.4y = (-y).(-4y) = 2y.2y = (-2y).(-2y) = ….

Ta chọn tích (-y).(-4y) vì (-y) + (-4y) = -5y = b

=> 2x² – 5xy + 2y² = 2x² – xy – 4xy + 2y² = x(2x – y) – 2y(2x – y) = (x – 2y)(2x – y)

Cách 2: Xét đa thức \(f\left( {x;y} \right) = {y^2}\left( {\frac{{2.{x^2}}}{{{y^2}}} - 5\frac{x}{y} + 2} \right)\)

Đặt \(t = \frac{x}{y}\) và ta có đa thức 2t² – 5t + 2 = 2t² – t – 4t + 2 = (2t – 1)(t – 2)

Khi đó ta được f(x; y) = y²(2t – 1)(t – 2) = \({y^2}.\left( {2\frac{x}{y} - 1} \right)\left( {\frac{x}{y} - 2} \right)\) = (2x – y)(x – 2y)

Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

3. Ví dụ minh họa phương pháp tách hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:

a. \({x^2} - 7x + 6\)

b. \({x^2} - 3x - 10\)

c. \(2{x^2} + 5x - 3\)

d. \(6{x^2} + x - 7\)

Gợi ý đáp án

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3x⁴ + 5x² - 2 thành nhân tử.

Hướng dẫn:

Đặt t = x²

Khi đó đa thức đã cho trở thành: 3t² + 5t - 2. Bài toán này ta có thể giải quyết dễ dàng nhờ áp dụng dạng 1.

3t² + 5t - 2 = 3t² + 6t - t - 2 = (3t² + 6t) - (t + 2) = 3t(t + 2) - (t + 2) = (t + 2)(3t - 1).

3x⁴ + 5x² - 2 = (x² + 2)( 3x² - 1)

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b)

b, (a + b + c)³ - a³ - b³ - c³

c. a(a + 2b)³ - b(2a + b)³

III. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 2) - 30

b) 4x⁴ - 8x³ + 3x² - 8x + 4

c) 2x⁴ - 15x³ + 35x² - 30x + 8

d) 2x³ - x² + 5x + 3

Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài tập 4: Dùng phương pháp tách hạng tử và thêm bớt cùng hạng tử phân tích các đa thức dưới đây thành nhân tử:

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử (thêm bớt hạng tử)

a) 10x² + 4x - 6

b) x² + 2x - 15