Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ôn tập Toán 9

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 9.

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải, kèm theo ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất. Vậy sau đây là cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Giá trị tuyệt đối là gì?

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được xác định như sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| x \right| = x{\text{ khi x}} \geqslant {\text{0}}} \\ {\left| x \right| = - x{\text{ khi x < 0}}} \end{array}} \right.\)

Ví dụ:

|45| = 45 (Vì 45 > 0)

|-12| = - (- 12) = 12 (Vì -12 < 0)

2. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

a) Giá trị tuyệt đối của mọi số đều dương.

|x| ≥ 0 với mọi x thuộc R

|x| = 0 <=> x = 0

|x|> 0 <=> x > 0

b) Hai số bằng nhau hoặc đối nhau sẽ có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = y} \\ {x = - y} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| x \right| = \left| y \right|\)

Ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau là hai số đối nhau hoặc bằng nhau.

\(\left| x \right| = \left| y \right| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = y} \\ {x = - y} \end{array}} \right.\)

c) Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và cũng đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.

d) Trong hai số âm, số nào nhỏ hơn thì số đó có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Nếu x < y < 0 thì |x| > |y|

e) Trong hai số dương, số nào nhỏ hơn thì số đó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn.

Nếu 0 < x < y thì |x| < |y|

f) Giá trị tuyệt đối của một tích chính bằng tích các giá trị tuyệt đối.

|x . y| = |x|.|y|

g) Giá trị tuyệt đối của một thương chính bằng thương của hai giá trị tuyệt đối.

\(\left| {\frac{x}{y}} \right| = \frac{{\left| x \right|}}{{\left| y \right|}}\)

h) Bình phương giá trị tuyệt đối của một số chính bằng bình phương của số đó.

|x|² = x²

k) Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai số. Dấu sẽ bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

|x| + |y|≥ |x + y| và |x| + |y| = |x + y| <=> x.y ≥ 0

3. Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

A. Dạng 1: Giải phương trình dạng |f(x)| = k (với k là hằng số không âm)

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = k \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) = k} \\ {f\left( x \right) = - k} \end{array}} \right. \Rightarrow x = ?\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

B. Dạng 2: Giải phương trình dạng |f(x)| = |g(x)|

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x), g(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) = g\left( x \right)} \\ {f\left( x \right) = - g\left( x \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow x = ?\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

C. Dạng 3: Giải phương trình dạng |f(x)| = g(x)

Phương pháp giải

Đối với bài toán này ta có hai cách giải

Cách 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x), g(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Xét hai trường hợp:

+ Nếu f(x) ≥ 0 thì phương trình có dạng f(x) = g(x) => Suy ra nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1)

+ Nếu f(x) ≤ 0 thì phương trình có dạng f(x) = -g(x) => Suy ra nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

Cách 2:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x), g(x) xác định (nếu cần) và g(x) ≥ 0

Bước 2: Khi đó: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) = g\left( x \right)} \\ {f\left( x \right) = - g\left( x \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow x = ?\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

4. Bài tập giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3x + 2 + | 5x | với x > 0.

b) A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.

c) A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4

Hướng dẫn:

a) Với x > 0 ⇒ | 5x | = 5x

Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

Vậy A = 8x + 2.

b) Ta có: x < 0 ⇒ | 4x | = - 4x

Khi đó ta có: A = | 4x | - 2x + 12 = - 4x - 2x + 12 = 12 - 6x

Vậy A = 12 - 6x.

c) Ta có: x < 4 ⇒ | x - 4 | = 4 - x

Khi đó ta có: A = | x - 4 | - x + 1 = 4 - x - x + 1 = 5 - 2x.

Vậy A = 5 - 2x

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) | 2x | = x - 6

b) | - 5x | - 16 = 3x

c) | 4x | = 2x + 12

d) | x + 3 | = 3x - 1

Hướng dẫn:

a) Ta có: | 2x | = x - 6

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x - 6 ⇔ x = - 6.

Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 2x = x - 6 ⇔ - 3x = - 6 ⇔ x = 2.

Không thỏa mãn điều kiện x < 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Ta có: | - 5x | - 16 = 3x

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x - 16 = 3x ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 5x - 16 = 3x ⇔ 8x = - 16 ⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;8 }

c) Ta có: | 4x | = 2x + 12

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 4x = 2x + 12 ⇔ - 6x = 12 ⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 2;6}

d) Ta có: | x + 3 | = 3x - 1

+ Với x ≥ - 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1 ⇔ - 2x = - 2 ⇔ x = 1.

Thỏa mãn điều kiện x ≥ - 3

+ Với x < - 3, phương trình tương đương: - x - 3 = 3x + 1 ⇔ - 4x = 4 ⇔ x = - 1

Không thỏa mã điều kiện x < - 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}