Cách tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng Tìm giao điểm của (d) và (P)

Cách tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, các cách chứng minh, ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết kèm theo 4 bài tập tự luyện.

Tìm giao điểm của (d) và (P) là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập toán được thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy.

1. Cách tìm số giao điểm của (P) và (d)

Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và parabol (P): y = kx² (k ≠ 0)

- Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình kx² = ax + b

Xét phương trình:

kx² = ax + b (1)

+ Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (d) và (P) không giao nhau

+ Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

+ Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

- Giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Khi đó giá trị của x chính là hoành độ giao điểm cuar (d) và (P). Thay giá trị x vào công thức hàm số của (d) và (P) ta tìm ra tung độ giao điểm từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm.

- Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)

kx² = ax + b

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số y = f(x) = (m + 2)x² (1)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua các điểm: A (-1; 3); \(B\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)\)

2) Thay giá trị m = 2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đồ thị hàm số y = x + 1

Hướng dẫn giải

1) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m + 2)x² (1) đi qua điểm A (-1; 3)

=> x = -1; y = 3

Thay vào hàm số (1) ta có:

3 = (m + 2) . (-1)²

=> m = 3 – 2

=> m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 3)

Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m + 2)x² (1) đi qua điểm \(B\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)\)

=> \(x = \sqrt 2 ;y = - 1\)

Thay vào hàm số (1) ta có:

\(- 1 = \left( {m + 2} \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\)

=> -1 = (m + 2).2

=> -1 = 2m + 4

=> -5 = 2m

=> m = -5/2

Vậy với m = -5/2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( {\sqrt 2 ; - 1} \right)\)

2) Thay m = 0 vào hám số y = f(x) = (m + 2)x² (1) ta có:

y = f(x) = 2x²

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = 2x² với đồ thị hàm số y = x + 1 là nghiệm của phương trình:

2x² = x + 1

=> 2x² – x – 1 = 0 (2)

Ta có a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0

Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 hoặc x₂ = -1/2

Với x = 1 => y = 2.1² = 2 => D(1; 2)

Với x = -1/2 => y = 2.(-1/2)² = 2.1/4 = 1/2 => E(-1/2; 1/2)

Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = 2x² và đồ thị hàm só y = x + 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt D(1; 2) và E(-1/2; 1/2).

4. Bài tập tự luyện Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bài tập 1: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) đi qua điểm \(D\left( { - \sqrt 2 ; - 4} \right)\)

b) Với giá trị a vừa tìm được hãy:

+ Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ.

+ Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng -2.

+ Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trụ tọa độ.

Bài tập 2: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Tìm hệ số a biết rằng (P) đi qua điểm M(-2; 4).

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và điểm N(2; 4).

c) Vẽ (P) và (d) tìm được ở câu a và b trên cùng một hệ trục tọa độ.

d) Tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d) ở câu a và câu b.

Bài tập 3: Cho hàm số (P): y = x² và d = x/2

a) Vẽ đồ thị hàm số của (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là x_A = -1, x_B = 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B

b) Viết phương trình đường thẳng AB