Trục căn thức ở mẫu lớp 9 Ôn tập Toán 9

Trục căn thức ở mẫu là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Trục căn thức ở mẫu lớp 9 tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết công thức tính và các dạng bài tập có đáp án giải chi tiết kèm theo 15 bài tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về trục căn thức ở mẫu. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

1. Công thức trục căn thức ở mẫu

+) Với các biểu thức \(A,B (B>0)\), ta có: \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\)

+) Với các biểu thức \(A,B,C(A\geq 0, A\neq B^{2})\), t a có:

\(\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}\)

\(\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^{2}}\)

+) Với các biểu thức \(A,B,C(A\geq 0,B\geq 0,A\neq B)\), t a có:

\(\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}\)

\(\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}\)

2. Công thức trục căn thức mở rộng

\(\frac{T}{{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}} = \frac{{T\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}} = \frac{{T\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}}{{a \pm b}}\)

3. Bài tập trục căn thức ở mẫu có đáp án

Bài tập 1: Trục các căn thức sau:

Hướng dẫn giải

a. \(\sqrt {\frac{{11}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11} .\sqrt {12} }}{{\sqrt {12} .\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11.12} }}{{{{\sqrt {12} }^2}}} = \frac{{\sqrt {132} }}{{12}}\)

b. \(\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}\)

c. \(\sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}} = \sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{{8^2}y}}} = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt y }} = \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }}\)

Do x ≥ 0 \(\Rightarrow \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{8\sqrt y }}\)

d. \(- xy\sqrt {\frac{y}{x}} = - xy\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt y .\sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {{x^2}} }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\left| x \right|}} = - y\sqrt {xy}\)

Bài tập 2: Trục các căn thức sau:

Hướng dẫn giải

a. \(\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 }}{{3\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 6 - \sqrt {18} }}{{3.\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 - 3\sqrt 2 }}{{18}}\)

b. \(\frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} = \frac{{1.\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}}{{\left( {\sqrt 4 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{{{\sqrt 5 }^2} - {{\sqrt 4 }^2}}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{5 - 4}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{1} = \sqrt 5 - \sqrt 4\)

c. \(\frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}\)

\(= \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}\)

\(= \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)

\(\begin{matrix} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{50 - 20}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{30}} \hfill \\ \end{matrix}\)

d. Điều kiện xác định: \(x \geqslant 0;y \geqslant 0;\sqrt x + \sqrt y > 0\)

\(\frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \sqrt x - \sqrt y\)

Bài tập 3: Trục căn thức bậc ba: \(\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{3\sqrt 3 + 18 + 12\sqrt 3 + 8}} - \sqrt[3]{{8 - 12\sqrt 3 + 18 - 3\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{\sqrt {{3^3}} + 3.3.2 + 3.4\sqrt 3 + {2^3}}} - \sqrt[3]{{{2^3} - 2.4\sqrt 3 + 3.3.2 - \sqrt {{3^3}} }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} \hfill \\ = \sqrt 3 + 2 - 2 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}\)

Bài tập  4: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

b) \(\frac{26}{5-2\sqrt{3}}\)

Lời giải:

a) \(\frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{2}\)

b) \(\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 3\)

Bài tập 5: 

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{2^{2}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30}\)

Bài tập 6:

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

• \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}\)

\(Do\ x\neq y\ nên \sqrt{x}\neq \sqrt{y}\)

• \(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\)

\(Do\ a\neq b\ nên\ \sqrt{a}\neq \sqrt{b}.\)

4. Bài tập tự luyện Trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

Bài 5: Thực hiện phép tính:

Bài 6: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \(\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}\)

b) \(\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}\) với a ≥ 0

Bài 7: Cho biểu thức \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\) (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 8:

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}\)

b) Rút gọn: \(B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)(với a > 0 và a ≠ 1)

Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

a) \(4\sqrt x - 5\sqrt x - \sqrt {25x} - 3\sqrt x - 5\)

b) \(\sqrt {16x} - 5\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt {49x} - 5\)

Bài 10: Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{2}{{x - 3}}\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{4{y^4}}}}\) với x > 3 và y ≠ 0

b) \(\frac{2}{{2x - 1}}\sqrt {5{x^2}\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)}\) với x > 0,5

Bài 11: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \(\sqrt {\frac{1}{{540}}}\)

b) \(\sqrt {\frac{{11}}{{600}}}\)

c) \(\sqrt {\frac{5}{{50}}}\)

d) \(\sqrt {\frac{3}{{98}}}\)

Bài 12: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \(\frac{5}{{2\sqrt 5 }}\)

b) \(\frac{{2\sqrt 2 + 2}}{{5\sqrt 2 }}\)

c) \(\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }}\)

Bài 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \(\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}\)

b) \(\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}\) với a ≥ 0

Bài 14: Cho biểu thức \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\) (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 15

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}\)

b) Rút gọn: \(B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\) (với a > 0 và a ≠ 1)