Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10 Tổng hợp kiến thức Toán 10

Tổng hợp kiến thức Toán lớp 10 gồm 72 trang được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Thanh Nhàn. Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức, phương pháp giải một số dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 10.

Tổng hợp kiến thức Toán 10 giúp các em hệ thống kiến thức theo từng chủ đề, kèm theo đó là các ví dụ minh họa giúp các em dễ nhớ. Đồng thời tổng hợp kiến thức Toán 11 cung cấp hệ thống bài tập biên soạn theo mức độ vận dụng và vận dụng cao. Số ví dụ nhiều, lời giải chi tiết, dễ hiểu, bài tập vận dụng có lời giải sau mỗi chủ đề. Vậy sau đây là trọn bộ chi tiết tài liệu Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Tổng hợp kiến thức Toán 10

1. Mệnh đề

Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai. Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ:

i) 2+3 = 5 là mệnh đề đúng.

ii) " \(\sqrt{2}\) là số hữu ti"là mệnh đề sai.

iii) "Mệt quá l" không phải là mệnh đề

2. Mệnh đề chứa biến:

Ví dụ: Cho mệnh đề 2+n=5. với mỗi giá trị của n thi ta được một để đúng họ̆c sai. Mệnh đề như trên được gọi là mệnh đề chứa biến.

3. Phủ định của mệnh để:

Phủ định của mệnh đề P kí hiệu là \(\bar{P}\). Nếu mệnh đề P đúng thì \(\bar{P}\) sai, P sai thì \(\bar{P}\) đúng.

Ví dụ: \(\quad P\) : "3 là số nguyên tố"

\(\bar{P}\) : "3 không là số nguyên tố"

4. Mệnh đề kéo theo:

Mệnh đề "nếu \(\mathrm{P}\) thì Q " được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu \(P \Rightarrow Q\) .

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Ví dụ: Mệnh đề "\(-3<-2 \Rightarrow(-3)^{2}<(-2)^{2}\) "sai

Mệnh đề \(" \sqrt{3}<2 \Rightarrow 3<4\) "đúng

Trong mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) thì:

P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q)

Q: kết luận (điều kiện cần để có P)

Ví dụ: Cho hai mệnh đề:

P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰”

Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”

Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒Q dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰ thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam giác đều”

ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác đều thì điều kiện đủ là tam giác ABC có
hai góc bằng 60⁰” 

5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề \(Q \Rightarrow P\).

Chú ý: Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng nhumg mệnh đề đảo \(Q \Rightarrow P\) chưa chăc đúng.

Nếu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thi ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau. Ki hiệu \(P \Leftrightarrow Q\)

6. Kí hiệu \(\forall, \exists:\)

\(\forall\): Đọc là vói mọi (tất cả)

\(\exists\): Đọc là tồn tại (có một hay có it nhất một)

7. Phủ định của \(\forall v \dot{a} \exists:\)

* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ \(\forall x \in X, P(x)\)" là “\(\exists x \in X, \overline{P(x)}\)"

* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ \(\exists x \in X, P(x)\)" là "\(\forall x \in X, \overline{P(x)}\) "

Ghi nhớ:

- Phủ định của \(\forall\) là \(\exists.\)

- Phủ định của \(\exists\) là \(\forall.\)

- Phủ định của = là \(\neq.\)

- Phủ định của > là \(\leq.\)

- Phủ định của < là \(\geq.\)

Ví dụ: P: "\(\exists n \in Z: n<0 "\)

\(\bar{P}: " \forall n \in Z: n \geq 0 "\)

ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

1. Định lí và chứng minh định lí:

- Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng 

dưới dạng \(\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x)\)

Trong đó P(x), Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.

- Chứng minh định lí dạng (1) là dùng suy luận và những kiến thức đúng đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng.

Có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.

*Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước:

- Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng;

- Dủng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết đế chi ra rằng Q(x) đúng.

* Phép chứng minh phản chứng gồm các bước:

- Giả sử tồn tại \(x_{0} \in X\) sao cho \(P\left(x_{0}\right)\) đúng và \(Q\left(x_{0}\right)\) sai, tức là mệnh đề (1) là một mệnh đề sai.

- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết đế chi ra điều mâu thuẫn.

2. Điều kiện cần, điều kiện đủ:

Cho định lí dạng: " \(\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x)\)" (1).

- \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) gọi là giả thiết và \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})\) gọi là kết luận của định lí.

- Định lí (1) còn được phát biểu dưới dạng:

\(+ \mathrm{P}(\mathrm{x})\) là điều kiện đủ để có \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})\), hoặc

+Q(x) là điều kiện cần để có P(x).

3. Định lí đảo, điều kiện cần và đủ:

Xét mệnh đề đảo của định lí dạng (1) là \(\forall x \in X,\) \(Q(x) \Rightarrow P(x)(2).\)

Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai. Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lí đảo của định lí (1), lúc đó (1) gọi là định lí thuận.

Định lí thuận và đảo có thể viết gộp lại thành một định lí dạng:

Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại). Ngoài ra ta cũng có thể nói “P(x) khi và chỉ khi (nếu và chỉ nếu) Q(x)”

....................

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung tài liệu Toán 10