Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9

I. Lý thuyết tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu 

1. Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.\)

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.\)

II. Ví dụ tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Ví dụ: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.\)

Với \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}\)

Với \(P > 0 \Leftrightarrow m > 0\)

Với \(S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}\) kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

III. Bài tập tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu (Có đáp án)

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \(\Leftrightarrow P < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}\)

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.\)(vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình \(3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\).

Gợi ý đáp án

\(3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Có \(\Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)\)

\(\begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}\)

Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

\(P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0\)

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1\)

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.\)

Với \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}\)

Với \(P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2\)

Với \(S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0\) (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Bài 4: Không giải phương trình, chứng minh các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu

a) x² - 3x - 4 = 0

b) -2x² + x +8 = 0

c) x² - 8 = 0

Gợi ý đáp án

Vì a . c = 1 . (-4) = -4 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) -2x² + x +8 = 0 ( a = -2 ; b = 1 ; c = 8)

Vì a . c = (-2) . 8 = -16 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) x² - 8 = 0 ( a = 1 ; b = 0 ; c = -8)

Vì a . c = 1 . (-8) = -8 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 5: Chứng minh các phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m:

a) -x² - 2x + m² + 1 = 0 ( m là tham số)

b) (m² + 1)x² + 2mx - m² = 0 ( m là tham số)

c) 2x² - (m + 1)x - ( m² + 4m + 5) = 0 ( m là tham số)

Gợi ý đáp án

a) -x² - 2x + m² + 1 = 0 ( a = -1; b = -2; c = m² + 1 )

Ta có: a . c = (-1) . (m² + 1) = -(m² + 1)

Vì m² 0 với mọi m, nên m² + 1 > 0 với mọi m

- ( m² + 1 ) < 0 với mọi m

a . c < 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

b) (m² + 1)x² + 2mx - m² = 0 ( a = m² + 1; b = 2m ; c = -m²)

Ta có: a . c = (m² + 1) . (-m²) = -m² (m² + 1)

Vì m² 0 với mọi m, nên m² + 1 > 0 với mọi m

m² (m² +1) > 0 với mọi m

-m² (m² +1) < 0 với mọi m

a . c < 0 với mọi m.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

c) 2x² - (m + 1)x - ( m² + 4m + 5) = 0 ( a = 2; b = -(m + 1); c = -(m² + 4m + 5))

Ta có: a . c = 2. [ -(m² + 4m + 5)] = -2 ( m² + 4m + 5) = -2 ( m² + 4m + 4 +1) = -2 [ ( m + 2 )² + 1]

Vì ( m + 2 )² 0 với mọi m

( m + 2 )² + 1 >0 với mọi m

-2 [ ( m + 2 )² + 1] < 0 với mọi m

Do đó: a . c < 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

IV. Bài tập tự luyện tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu 

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

Bài 2: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 13\)

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

Bài 4: Tìm m để phương trình \({x^2} - 8x + m + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + 5m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

Bài 6: Tìm m để phương trình \(2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 7: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 8: Tìm m để phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 9: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 10: Cho phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?