Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Lớp 9 Rút gọn biểu thức lớp 9

Rút gọn biểu thức chứa căn thuộc dạng toán cơ bản trọng tâm có trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.

Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 gồm 89 trang được biên soạn với nhiều dạng bài tập khác nhau có đáp án giải chi tiết. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về biểu thức chứa căn để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9

Các công thức biến đổi căn thức

\(1. \quad \sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{l}A \text { nếu } \mathrm{A} \geq 0 \\ -A \text { nếu } \mathrm{A}<0\end{array}\right.\)

\(2. \quad \sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} (Với A \geq 0 ; B \geq 0 )\)

\(3. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (Với A ≥ B> 0)

\(4. \quad \sqrt{A^{2} B}=|A| \sqrt{B} \quad (Với B \geq 0 )\)

\(5. A \sqrt{B}=\sqrt{A^{2} B}\)(Với \(A \geq 0\) ;\(B \geq 0\))

\(6. A \sqrt{B}=-\sqrt{A^{2} B}\) (Với A<0 ; \(B \geq 0\))

\(7. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B} \quad (Với A \geq 0 ; B>0 ) \begin{array}{ll}\text { 8. } \frac{A}{\sqrt{B}} & =\frac{A \sqrt{B}}{B} & \text { (Với } B>0 \text { ) }\end{array}\)

\(9 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \pm B)}{A-B^{2}} \quad (Với A \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}^{2} )\)

\(10 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \pm \sqrt{B})}{A-B} \quad (Với \left.A \geq 0 ; B \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}\right)\)

\(11 (\sqrt[3]{A})^{3}=\sqrt[3]{A^{3}}=A\)

* Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức

\(1. \sqrt{A} \quad Đ K X Đ: A \geq 0 \quad Ví dụ: \sqrt{x-2018} \quad ĐKXĐ: \quad x \geq 2018\)

\(2. \frac{A}{B} \quad \boxminus K X Đ: B \neq 0 \quad Ví dụ: \frac{x+4}{x-7} \quad ĐKXĐ: x \neq 7\)

\(3. \frac{A}{\sqrt{B}} \quad \boxminus K X Đ: B>0 \quad Ví dụ: \frac{x+1}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad x>3\)

\(4. \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad ĐKXĐ: A \geq 0 ; B>0 \quad\) Ví dụ: \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x>3\end{array} \Leftrightarrow x>3\right.\)

\(5. \sqrt{\frac{A}{B}} \quad ĐKXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B>0\end{array} \quad \text { Ví dụ: } \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\right.\end{array} \quad\right. ĐXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+1 \leq 0 \\ x+2<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x+2>0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<-2 \\ x \geq 1\end{array}\right.\right.\)

Cho a >0 ta có:

6. \(x^{2}>a \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array} \quad\right.\) Ví dụ: \(x^{2}>1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array}\right.\)

*Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp

Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)

Tính giá trị của biểu thức: \(A=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}\)

Lời giải

Ta có: \(\mathrm{A}=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2\)

* Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)

Cho \(\mathrm{E}=(\sqrt[3]{2}+1) \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}\). Chứng minh rằng E là số nguyên

Lời giải

Ta có:

\(\begin{aligned} E &=\sqrt[3]{(\sqrt[3]{2}+1)^{3} \cdot \frac{(\sqrt[3]{2}-1)}{3}}=\sqrt[3]{[2+1+3 \sqrt[2]{2}(\sqrt[3]{2}+1)] \frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}=\sqrt{(8-3 \sqrt{7})^{2}}-\sqrt{(8+3 \sqrt{7})^{2}} \\ &=\sqrt[3]{(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{2}-1)}=\sqrt[3]{2-1}=1 \end{aligned}\)

Vậy E là số nguyên

• Thí dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)

Rút gọn: \(A=\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}.\)

Lời giải

Đặt \(\mathrm{A}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{M}}. Ta có \mathrm{T}>0 nên \mathrm{T}=\sqrt{\mathrm{T}^{2}}\)

\(\begin{aligned} & \text { Xét } \mathrm{T}^{2}=(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})-2 \cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}} \cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}+(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}) \\ &=2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{\sqrt{8}-(\sqrt{2}-1)} \\ &=2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{\sqrt{2}+1} \\ &=2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}) \\ \Rightarrow & \mathrm{T}=\sqrt{2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1})} \\ \Rightarrow & \mathrm{A}=\sqrt{2} \end{aligned}\)

Thí dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013)

Rút gọn biểu thức:\(\mathrm{A}=\sqrt{\frac{2 \sqrt{10}+\sqrt{30}-2 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2 \sqrt{10}-2 \sqrt{2}}}: \frac{2}{\sqrt{3}-1}\)

Lời giải

Ta có:\(\sqrt{\frac{2 \sqrt{10}+\sqrt{30}-2 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2 \sqrt{10}-2 \sqrt{2}}}: \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\)

*Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Tính giá trị của biểu thức \(N=\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}+\sqrt{27-10 \sqrt{2}}\)

Lời giải

Ta có: \(\mathrm{N}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{8+2 \sqrt{13}}}+\sqrt{25-10 \sqrt{2}+2}\)

\(\begin{aligned} & =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{(4+\sqrt{3})+2 \sqrt{4+\sqrt{3}} \sqrt{4-\sqrt{3}}+(4+\sqrt{3})}}+\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} \\ & =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})^2}}+\sqrt{(5-\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}+|5-\sqrt{2}| \\ & =\sqrt{2}+5-\sqrt{2}=5 \end{aligned}\)

Thí dụ 6: Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:

\(A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{10}}{\sqrt{23-3 \sqrt{5}}}\)

Lời giải

Ta có: \(A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{10}}{\sqrt{23-3 \sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{10})}{\sqrt{2}(\sqrt{23-3 \sqrt{5}})}\)

\(=\frac{\sqrt{4-2 \sqrt{3}}+\sqrt{8-2 \sqrt{15}}+2 \sqrt{5}}{\sqrt{46-6 \sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}+2 \sqrt{5}}{\sqrt{(3 \sqrt{5}-1)^2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-1}=\frac{3 \sqrt{5}-1}{3 \sqrt{5}-1}=1\)

*Thí dụ 7. (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)

Rút gọn biểu thức: \(\mathrm{B}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

Lời giải

Ta có:

\(\begin{aligned} & \frac{B}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{4+2 \sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{4-2 \sqrt{3}}}=\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \\ & \frac{B}{\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{6} \\ & \frac{B}{\sqrt{2}}=1 \Rightarrow B=\sqrt{2} \end{aligned}\)

*Thí dụ 8. (Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017)

So sánh \(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}\) và \(\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

Lời giải

Ta có:\(\sqrt{2015^2-1}-\sqrt{2014^2-1}=\frac{\left(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}\right)\left(\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}\right)}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

\(=\frac{\left(2015^2-1\right)-\left(2014^2-1\right)}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}=\frac{2017^2-2016^2}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}=\frac{(2017-2016)(2017+2016)}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

\(=\frac{2017+2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}>\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

Vậy \(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}>\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

*Thí dụ 9. Rút gọn các biểu thức:

\(a) \mathrm{A}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}\)

\(b) B=\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}\)

Lời giải

\(a) \begin{aligned} A & =\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{(2 \sqrt{5}-3)^2}}} \\ & =\sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)}=1 \end{aligned}\)

.................