Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Giải SGK Toán 10 trang 83 - Tập 2 sách Cánh diều

Giải Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng sách Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 83 tập 2.

Giải SGK Toán 10 Bài 4 trang 83 Cánh diều tập 2 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa. Nội dung chi tiết bài Giải Toán 10 Bài 4 chương 7 trang 83 tập 2 mời các bạn cùng đón đọc tại đây.

Bài 1

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau

\(a) d_1: 3 x+2 y-5=0 và d_2: x-4 y+1=0;\)

\(b) \mathrm{d}_3: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+3=0 và \mathrm{d}_4:-2 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+10=0;\)

\(d_5: 4 x+2 y-3=0 và d_6:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}+t \\ y=\frac{5}{2}-2 t\end{array}\right..\)

Gợi ý đáp án

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁, d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 5 = 0 } \\ { x - 4 y + 1 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{9}{7} \\ y=\frac{4}{7} \end{array}\right.\right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₃, d₄ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+3=0 \\ -2 x+4 y+10=0 \end{array}\right.\)

Hệ phương trình vô nghiệm.nên 2 đường thẳng song song với nhau

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₅, d₆ tương ứng với t thỏa mãn phương trình:

\(4\left(-\frac{1}{2}+t\right)+2\left(\frac{5}{2}-2 t\right)-3=0 \Leftrightarrow 0 t=0\)

Phương trình này có nghiệm với mọi t. Do đó d₅ ≡ d6

Bài 2

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x--y + 5 = 0 và{d_2}:x - 3y + 3 = 0 .\)

Gợi ý đáp án

Vecto pháp tuyến của đường thẳng {d_1} là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\)

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 3} \right)\)

Ta có: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = {45^o}\)

Bài 3

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

\(a)A\left( {1; - 2} \right){\rm{ }}v\`a {\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}3x - y + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0 ;\)

b) \(B(-3; 2) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Gợi ý đáp án

a) Khoảng cách từ điểm A đến \({\Delta _1}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 1.\left( { - 2} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\)

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng \({\Delta _2}\) là: 2x + y + 3 = 0

Khoảng cách từ điểm B đến \({\Delta _2}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 1.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Bài 4

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

Δ₁: mx − y + 1 = 0 và Δ₂: 2x − y + 3=0.

Bài giải

Vecto pháp tuyến của là: \(\vec{n_{1} }=(m,-1)\)

Vecto pháp tuyến của là: \(\vec{n_{2} }=(2,-1)\)

Vậy hai đường thẳng Δ₁, Δ₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khỉ \(\vec{n_{1} },\vec{n_{2} }\) vuông góc với nhau tức là \(\vec{n_{1} }.\vec{n_{2} }=0 \Leftrightarrow 2m+1=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)

Bài 5

Cho ba điểm A(2;- 1), B(1 ; 2) và C(4;- 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Gợi ý đáp án

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1} \right)\)

Vậy \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ - 1.2 + 3.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BAC} = {135^o}\)

Bài 6

Cho ba điểm A(2;4), B(-1; 2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Gợi ý đáp án

Gọi \(\Delta\)là đường thẳng đi qua B và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\)

Vậy phương trình \(\Delta\)là: \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}x + by + \left( {a - 2b} \right) = 0\)

Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {C,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {4a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 2b = 4a - 3b\\3a + 2b = - 4a + 3b\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5b\left( 1 \right)\\7a = b\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {5;1} \right).\) Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\)là: 5x + y + 3 = 0

Từ (2) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là:\(\overrightarrow n = \left( {1;7} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\)là: x + 7y - 13 = 0