Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Giải SGK Toán 10 trang 69 - Tập 2 sách Cánh diều

Giải Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ sách Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 69 tập 2.

Giải SGK Toán 10 Bài 2 trang 69 Cánh diều tập 2 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa. Nội dung chi tiết bài Giải Toán 10 Bài 2 chương 7 trang 69 tập 2 mời các bạn cùng đón đọc tại đây.

Giải Toán 10 trang 62 Cánh diều - Tập 2

Bài 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\vec{a} =(-1;2), \vec{b}=(3,1) ,\vec{c} =(2,-3)\).

a) Tìm tọa độ vectơ \(\vec{u}=2 \vec{a}+ \vec{b}- 3\vec{c}\).

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{x}\) sao cho \(\vec{x}+2 \vec{b}= \vec{a}+ \vec{c}\).

Lời giải:

a) Ta có: \(2 \overrightarrow{\mathrm{a}}=2(-1 ; 2)=(-2 ; 4),-3 \overrightarrow{\mathrm{c}}=-3(2 ;-3)=(-6 ; 9).\)

Do đó:\(\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}-3 \overrightarrow{\mathrm{c}}=2 \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+(-3 \overrightarrow{\mathrm{c}})=((-2)+3+(-6) ; 4+1+9)=(-5 ; 14).\)

Vậy \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=(-5 ; 14).\)

b) Ta có: \(\vec{x}+2 \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} \Leftrightarrow \vec{x}=\vec{a}+\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \overrightarrow{\mathrm{b}}\)

Mà \(-2 \vec{b}=-2(3 ; 1)=(-6 ;-2).\)

Do đó: \(\overrightarrow{\mathrm{x}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}-2\)

\(\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}+(-2\)

\(\overrightarrow{\mathrm{b}})=((-1)+2+(-6) ; 2+(-3)+(-2))=(-5 ;-3)\)

Vậy \(\vec{x}=(-5 ;-3).\)

Bài 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4-(-2) ; 5-3)=(6 ; 2), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2-(-2) ;(-3)-3)=(4 ;-6). Vì \frac{6}{4} \neq \frac{-3}{-6}\) nên \(\overrightarrow{A B} \neq k \overrightarrow{A C}\)

Vậy ba điểm \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)không thẳng hàng.

b) Vì G là trọng tâm tam giác\(\mathrm{ABC}\) nên tọa độ điểm G  là

\(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{(-2)+4+2}{3}=\frac{4}{3}, y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+5+(-3)}{3}=\frac{5}{3}\)

Vậy trọng tâm G có tọa độ là \(\mathrm{G}\left(\frac{4}{3} ; \frac{5}{3}\right).\)

c) Ta có: \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(2-4 ;(-3)-5)=(-2 ;-8).\)

Do đó:\(\mathrm{BC}=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{(-2)^2+(-8)^2}=2 \sqrt{17} \approx 8.\)

\(\mathrm{AB}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{6^2+2^2}=2 \sqrt{10} \approx 6\)

\(\mathrm{AC}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2 \sqrt{13} \approx 7\)

Ta có: \(\cos \widehat{\mathrm{BAC}}=\cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\)

\(\overrightarrow{\mathrm{AC}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}=\frac{6 \cdot 4+2 \cdot(-6)}{2 \sqrt{10} \cdot 2 \sqrt{13}} \approx 0,26.\)

Suy ra \(\widehat{\mathrm{BAC}}=75^{\circ}.\)

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(\cos \mathrm{B}=\frac{\mathrm{BA}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{AC}^2}{2 \mathrm{BA} \cdot \mathrm{BC}}=\frac{(2 \sqrt{10})^2+(2 \sqrt{17})^2-(2 \sqrt{13})^2}{2 \cdot 2 \sqrt{10} \cdot 2 \sqrt{17}} \approx 0,54\)

Suy ra \(\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{B}}=57^{\circ}.\)

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác \(\mathrm{ABC}\), ta có:

\(\widehat{\mathrm{BAC}}+\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180^{\circ}\)

Suy ra \(\widehat{\mathrm{ACB}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{BAC}}-\widehat{\mathrm{ABC}}=180^{\circ}-75^{\circ}-57^{\circ}=48^{\circ}.\)

Bài 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2; 0); N(4; 2); P(1; 3).

a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

a) Do M, N, P là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = {x_M}\\\frac{{{x_B} + {x_A}}}{2} = {x_P}\\\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = {x_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{x_B} + {x_A} = 2\\{x_A} + {x_C} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{x_B} = - 1\\{x_C} = 5\end{array} \right. và \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = {y_M}\\\frac{{{y_B} + {y_A}}}{2} = {y_P}\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = {y_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 0\\{y_B} + {y_A} = 4\\{y_A} + {y_C} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 5\\{y_B} = - 1\\{y_C} = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {3;5} \right),B\left( { - 1; - 1} \right),C\left( {5;1} \right)\)

b) Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Trọng tâm tam giác MNP có tọa độ là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 1}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 3}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Vậy trọng tâm của 2 tam giác ABC và MNP là trùng nhau vì có cùng tọa độ.

Bài 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(-1;1), C(-8; 2).

a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA} = \left( {3;3} \right)\)

\(\cos \widehat {ABC} = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\left( { - 7} \right).3 + 1.3}}{{\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = - \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {126^o}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA} = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 10; - 2} \right)\)

Suy ra:\(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {104} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {50} \end{array}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \({P_{ABC}} = 2\sqrt {26} + 8\sqrt 2\)

c) Để diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM thì M phải là trung điểm BC.

Vậy tọa độ điểm M là:\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.. Vậy M\left( {\frac{{ - 9}}{2};\frac{3}{2}} \right)\)