Công thức tổ hợp Công thức Toán 10

Tổ hợp là một trong những kiến thức trọng tâm được học trong chương trình Toán 10. Vậy tổ hợp là gì? Nó có những điểm khác nhau như thế nào so với hoán vị và chỉnh hợp? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây của Eballsviet.com nhé.

Trong bài viết dưới đây tổng hợp kiến thức về công thức tính tổ hợp, ví dụ minh họa và một số bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Bên cạnh đó các bạn xem thêm Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10.

1. Công thức tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

Công thức tổ hợp chập k của n

\(C_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\frac{A_n^k}{k!}\)

Công thức tính chất của tổ hợp:

\(C_n^0=C_n^n=1\)

\(C_n^k=C_n^{n-k}\ \left(0\le k\le n\right)\)

\(C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1},\ \left(1\le k\le n\right)\)

2. Ví dụ về tính tổ hợp

Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.

Gợi ý đáp án

a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C122 = 66 cách.

b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A122 = 132 cách.

c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C105 = 252 cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C55 = 1 cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

3. Bài tập về tổ hợp

Bài tập 1

Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho?

Gợi ý đáp án

Có \(C_8^3=56\) tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho.

Bài tập 2

Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần?

Gợi ý đáp án

Có \(C_{10}^2=45\) cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.

Bài tập 3

Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?

Gợi ý đáp án

Lớp đó có tổng cộng 16+18=34 (học sinh)

Có \(C_{34}^3=5984\) cách lập một tổ trồng cây gồm các học sinh bất kì.

Có \(C_{16}^3=560\) cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nữ.

Có \(C_{18}^3=816\) cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nam.

Có 5984-560-816=4608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.

Bài tập 4

Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa?

Gợi ý đáp án

Tổng số bông hoa là: 50+60=110 (bông)

Có \(C_{110}^5\) cách chọn 5 bông hoa bất kì.

Có \(C_{50}^5\) cách chọn 5 bông hoa hồng.

Có \(C_{60}^5\) cách chọn 5 bông hoa cúc.

Có \(C_{110}^5-C_{50}^5-C_{60}^5=114811250\) cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa.

Bài tập 5

Tính tổng \(C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}\)

Gợi ý đáp án

\(C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}=680\)