Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn Ôn tập Toán 10

 Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 10 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra bài thi học kì 2.

Độ lệch chuẩn là một công cụ thống kê đo lường độ phân tán của tập dữ liệu so với giá trị trung bình của nó và được tính là căn bậc hai của phương sai. Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, công thức tính, cách phân biệt kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tính phương sai và độ lệch chuẩn chính xác nhất.

1. Công thức tính độ lệch chuẩn

a. Độ lệch chuẩn là gì?

Độ lệch chuẩn là một phép đo lường trong thống kê và trong tài chính được áp dụng cho tỉ lệ hoàn vốn hàng năm của một khoản đầu tư, để làm sáng tỏ những sự biến động trong lịch sử khoản đầu tư đó.

Độ lệch chuẩn được tính là căn bậc hai của phương sai, được tính bằng cách xác định sự chênh lệch giữa mỗi điểm dữ liệu so với giá trị trung bình. Nếu một điểm dữ liệu nằm xa giá trị trung bình, điểm đó có độ lệch cao trong tập dữ liệu, dữ liệu càng có độ dàn trải rộng thì độ lệch chuẩn càng cao.

- Ý nghĩa

Độ lệch chuẩn cho ta biết được độ phân tán của giá trị thống kê so với giá trị trung bình, ở từng thời điểm khác nhau. Nếu độ lệch chuẩn thấp thì tính biến động không đáng kể và ngược lại.

Độ lệch chuẩn bằng căn bậc 2 của phương sai - một đại lượng mô tả sự chênh lệch của một giá trị so với giá trị trung bình. Cả độ lệch chuẩn và phương sai đều dùng để đo lường các mức độ lan truyền của dữ liệu trong bất kỳ tập dữ liệu nào.

b. Công thức tính độ lệch chuẩn

\(\sigma = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} }}{n}} = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}\left( {{x_i} - \overline x } \right)} }}{N}}\)

2. Công thức tính phương sai

a. Phương sai

- Trong thống kê, phương sai được định nghĩa là thước đo độ biến thiên biểu thị khoảng cách các thành viên của một nhóm được lan truyền. Nó tìm ra mức độ trung bình mà mỗi quan sát khác nhau từ giá trị trung bình. Khi phương sai của tập dữ liệu nhỏ, nó cho thấy độ gần của điểm dữ liệu với giá trị trung bình trong khi giá trị phương sai lớn hơn biểu thị rằng các quan sát rất phân tán xung quanh trung bình số học và lẫn nhau.

Hoặc: 

Phương sai của một bảng số liệu là số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu so với số trung bình của nó.

b. Cách tính phương sai

\({\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}\left( {{x_i} - \overline x } \right)} }}{N}\)

Với \(\overline x\) là số trung bình của bảng số liệu

n là các số liệu thống kê

3. Phân biệt phương sai và độ lệch chuẩn

Cơ sở để so sánh	Phương sai	Độ lệch chuẩn
Định nghĩa	Phương sai là một giá trị số mô tả sự thay đổi của các quan sát từ giá trị trung bình số học của nó.	Độ lệch chuẩn là thước đo độ phân tán của các quan sát trong một tập dữ liệu.
Ý nghĩa	Đây là trung bình của độ lệch bình phương.	Nó là căn bậc trung bình lệch.
Kí hiệu	Sigma bình phương ( \({\sigma ^2}\))	Sigma ( \(\sigma\))
Thể hiện	Đơn vị bình phương	Các đơn vị giống như các giá trị trong bộ dữ liệu.
Chỉ ra	Làm thế nào để các cá nhân trong một nhóm được trải ra.	Bao nhiêu quan sát của một tập dữ liệu khác với ý nghĩa của nó

4. Ví dụ minh họa phương sai và độ lệch chuẩn

Ví dụ 1:

Điểm kiểm tra học kì của một học sinh được thống kê trong bảng dữ liệu sau:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

\(\sigma = \sqrt {37,2020} \approx 6,1\)Hướng dẫn giải

Điểm trung bình 5 môn học là: \(\overline x = \frac{{95 + 78 + 84 + 85 + 92}}{5} = 86,8\)

x	\(\overline x\)	\(x - \overline x\)	\({\left( {x - \overline x } \right)^2}\)
95	86,8	8,2	67,24
78	86,8	-8,8	77,44
84	86,8	-2,8	7,84
85	86,8	-1,8	3,24
92	86,8	5,5	30,25

Phương sai được tính như sau: \({\sigma ^2} = \frac{{67,24 + 77,44 + 7,84 + 3,24 + 30,25}}{5} = 37,202\)

Độ lệch chuẩn là: \(\sigma = \sqrt {37,2020} \approx 6,1\)

Ví dụ 2

Giả sử chúng ta có các quan sát 5, 7, 3 và 7, tổng cộng 22. Sau đó, bạn sẽ chia 22 cho số quan sát, trong trường hợp này là 4 được 5,5. Ta có trung bình là: x̄ = 5,5 và N = 4.

Phương sai được xác định bằng cách trừ mỗi quan sát cho giá trị trung bình, ta được lần lượt các kết quả là -0,5, 1,5, -2,5 và 1,5. Mỗi giá trị này sau đó được bình phương, bằng 0,25, 2,25, 6,25 và 2,25. Công các giá trị bình phương sau đó chia cho giá trị N trừ 1, bằng 3, cho kết quả phương sai xấp xỉ 3,67.

Căn bậc hai của phương sai có độ lệch chuẩn là khoảng 1.915.

Ví dụ 3: về độ lệch chuẩn trong đầu tư tài chính, xem xét cổ phiếu của Apple (AAPL) trong năm năm qua thấy được lợi nhuận cho AAPL là 37,7% cho năm 2014, -4,6% cho năm 2015, 10% cho năm 2016, 46,1% cho năm 2017 và -6,8% cho năm 2018. Lợi nhuận trung bình trong năm năm là 16,5%.

Lấy lợi nhuận của mỗi năm trừ giá trị trung bình được 21,2%, -21,2%, -6,5%, 29,6% và -23,3%. Tất cả các giá trị này sau đó được bình phương được 449.4, 449.4, 42.3, 876.2 và 542.9. Tính được phương sai là 590.1, sau đó các giá trị bình phương được cộng lại với nhau và chia cho 4 (N - 1). Căn bậc hai của phương sai được lấy để có độ lệch chuẩn là 24,3%.

Ví dụ 4

Điểm kiểm tra học kì của một học sinh được thống kê trong bảng dữ liệu sau:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

\(\sigma = \sqrt {37,2020} \approx 6,1\)

Hướng dẫn giải

Điểm trung bình 5 môn học là: \(\overline x = \frac{{95 + 78 + 84 + 85 + 92}}{5} = 86,8\)

x	\(\overline x\)	\(x - \overline x\)	\({\left( {x - \overline x } \right)^2}\)
95	86,8	8,2	67,24
78	86,8	-8,8	77,44
84	86,8	-2,8	7,84
85	86,8	-1,8	3,24
92	86,8	5,5	30,25

Phương sai được tính như sau: \({\sigma ^2} = \frac{{67,24 + 77,44 + 7,84 + 3,24 + 30,25}}{5} = 37,202\)

Độ lệch chuẩn là: \(\sigma = \sqrt {37,2020} \approx 6,1\)