Phương trình đường tròn: Lý thuyết và các dạng bài tập Chuyên đề phương trình đường tròn Toán 10

Phương trình đường tròn là một trong những kiến thức rất thú vị, vừa khó vừa hay, và được sử dụng nhiều trong các bài toán Oxy.

Nhằm cung cấp thêm nền tảng kiến thức về chuyên đề Phương trình đường tròn cũng như cũng cố thêm kỹ năng giải bài tập Toán 10, Eballsviet.com xin giới thiệu Tổng hợp lý thuyết và bài tập về phương trình đường tròn. Hi vọng đây tài liệu bổ ích giúp các bạn sẽ thêm yêu môn Hình học. Chúc các bạn học tốt.

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I (a; b), bán kính R là :

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có thể được viết dưới dạng

\({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

trong đó \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\)

Ngược lại, phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2}-c>0.\) Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = \(\sqrt{a^{2}+b^{2} - c}\)

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b).Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại M_0

Ta có \(M_0\) thuộc ∆ và vectơ \(\vec{IM_{0}}=({x_0} - a;{y_0} - b)\) là vectơ pháp tuyến cuả ∆

Do đó ∆ có phương trình là:

\(({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0\)

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.

4. Xác định tâm và bán kính của đường tròn

- Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\) thì (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.

Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: \(x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y+c=0\) thì  

Biến đổi đưa về dạng \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)

 Một số bài tập áp dụng

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình dường tròn. Tìm tâm và bán kinh của đường tròn đó:

a) \(x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2=0\)

b) \(x^{2}+y^{2}-6 x+4 y-12=0\)

c) \(x^{2}+y^{2}+2 x-8 y+1=0\)

d) \(x^{2}+y^{2}-6 x+5=0\)

e) \(16 x^{2}+16 y^{2}+16 x-8 y=11\)

f) \(7 x^{2}+7 y^{2}-4 x+6 y-1=0\)

g) \(2 x^{2}+2 y^{2}-4 x+12 y+11=0\)\(x^{2}+y^{2}-6 x+2 y \ln m+3 \ln m+7=0\)

h) \(4 x^{2}+4 y^{2}+4 x-5 y+10=0\)

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn

a) \(x^{2}+y^{2}+4 m x-2 m y+2 m+3=0\)

b) \(x^{2}+y^{2}-2(m+1) x+2 m y+3 m^{2}-2=0\)

c) \(x^{2}+y^{2}-2(m-3) x+4 m y-m^{2}+5 m+4=0\)

d) \(x^{2}+y^{2}-2 m x-2\left(m^{2}-1\right) y+m^{4}-2 m^{4}-2 m^{2}-4 m+1=0\)

Bài 3. {*} Tìm m đề các phương trình sau là phương trình đường tròn:

a) \(x^{2}+y^{2}-6 x+2 y \ln m+3 \ln m+7=0\)

b)\(x^{2}+y^{2}-2 x+4 y+\ln (m-2)+4=0\)

c) \(x^{2}+y^{2}-2 e^{2 m} x+2 e^{m} y+6 e^{2 m}-4=0\)

d) \(x^{2}+y^{2}-2 x \cos m+4 y+\cos ^{2} m-2 \sin m+5=0\)

e)\(x^{2}+y^{2}-4 x \cos m+2 y \sin m-4=0\)

5. Lập phương trình đường tròn

Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R
của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)

+ Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.

– Bán kính R = IA.

+ Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng

- Bán kính \(R=d(I, \Delta)\)

+ Dạng 3: (C) có đường kính AB.

– Tâm I là trung điểm của AB.

+ Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Xác định tâm I là giao điểm của d

– Bán kính R = IA

+ Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với dường thẳng \(\Delta\)

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

+ Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\)  tại điểm B

- Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

..................

Một số bài tập vận dụng

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: dạng 1

a) \(\mathrm{I}(2 ; 4), \mathrm{A}(-1 ; 3)\)

b)\(\mathrm{I}(-3 ; 2), \mathrm{A}(1 ;-1)\)

c) \(\mathrm{I}(-1 ; 0), \mathrm{A}(3 ;-11)\)

d) \(\mathrm{I}(1 ; 2), \mathrm{A}(5 ; 2)\)

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) với dạng 2

a) \(I(3 ; 4), \Delta: 4 x-3 y+15=0\)

b) \(I(2 ; 3), \Delta: 5 x-12 y-7=0\)

c) \(I(-3 ; 2), \Delta \equiv O x\)

d) \(I(-3 ;-5), \Delta \equiv O y\)

Bài 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3)

a) \(\mathrm{A}(-2 ; 3), \mathrm{B}(6 ; 5)\)

b) \(\mathrm{A}(0 ; 1), \mathrm{C}(5 ; 1)\)

c) \(\mathrm{A}(-3 ; 4), \mathrm{B}(7 ; 2)\)

d) \(\mathrm{A}(5 ; 2), \mathrm{B}(3 ; 6)\)

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng, với: (dạng 4)

a) \(A(2 ; 3), B(-1 ; 1), \Delta: x-3 y-11=0\)

b) \(A(0 ; 4), B(2 ; 6), \Delta: x-2 y+5=0\)

c)\(A(2 ; 2), B(8 ; 6), \Delta: 5 x-3 y+6=0\)

............................

Tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết