Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử

Cách phân tích đa thức thành nhân tử tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết về 6 phương pháp phân tích, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tự luyện với nhiều mức độ khác nhau.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 8 hiện hành. Chính vì thế qua bài học hôm nay mà Eballsviet.com giới thiệu sẽ giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán 8 thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: bài tập về Bình phương của một tổng, bài tập hiệu hai bình phương.

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁ = C(A₁ + B₁)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a. 20x – 5y

b) 4x²y – 8xy²+ 10x²y²

c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)

d. 20x²y – 12x³

e. x(x + y) – 6x – 6y

g. 8x⁴+ 12x²y⁴ – 16x³y⁴

h. 6x³– 9x²

i. 4xy² + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)

b. 3x³(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)²

c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)

d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

đ. 4y(x – 1) – (1 – x)

e. 18x²(3 + x) + 3(x + 3)

g. (x – 3)³+ 3 – x

h.  14x²y – 21xy² + 28x²y²

i. 7x(x – y) – (y – x)

k.  10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a. 4x(x + 1) = 8(x + 1) 

b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0 

c. 2x(x – 2) – (2 – x)²= 0 

d. (x – 3)³+ 3 – x = 0 

e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0

g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

h) x²– 4x = 0

k) (1 – x)² – 1 + x = 0

m) x + 6x² = 0

n) (x + 1) = (x + 1)²

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x²- 1

b) 25x²- 0,09

c) 9x² - \(\frac{1}{4}\)

d) (x - y)²- 4

e) 9 - (x - y)²

f) (x² + 4)² - 16x²

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴- y⁴

b) x² - 3y²

c) (3x - 2y)² - (2x - 3y)²

d) 9(x - y)²- 4(x + y)²

e) (4x² - 4x + 1) - (x + 1)²

f) x³+ 27

g) 27x³- 0,001

h) 125x³ - 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x⁴+ 2x² + 1

b) 4x² - 12xy + 9y²

c) -x²- 2xy - y²

d) (x + y)² - 2(x + y) + 1

e) x³- 3x²+ 3x - 1

g) x³ + 6x² + 12x + 8

h) x³+ 1 - x² - x

k) (x + y)³ - x³ - y³

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x²- x - y² - y

b) x² - 2xy + y² - z²

c) 5x - 5y + ax - ay

d) a³- a²x - ay + xy

e) 4x²- y²+ 4x + 1

f) x³ - x + y³ - y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- y² - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x² - xy

c) 3a²- 6ab + 3b² - 12c²

d) x² - 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² - ac - bc

f) x² - 2x - 4y² - 4y

g) x²y - x³- 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(a) x^{4}+4=x^{4}+\left(4 x^{2}-4 x^{2}\right)+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-4 x^{2}\)

\(=\left(x^{2}+2-2 x\right)\left(x^{2}+2+2 x\right)\)

\(b) x^{4}+1=x^{4}+2 x^{2}-2 x^{2}+1=x^{4}+2 x^{2}+1-2 x^{2}=\left(x^{2}+1\right)^{2}-2 x^{2}=\left(x^{2}+1\right)^{2}-(x \sqrt{2})^{2}\)

\(=\left(x^{2}+1-x \sqrt{2}\right)\left(x^{2}+1+x \sqrt{2}\right)\)

\(c) 3 x^{2}+8 x+4=3 x^{2}+8 x+16-12=\left(3 x^{2}-12\right)+(8 x+16)=3\left(x^{2}-4\right)+8(x+2)\)

\(=3(x-2)(x+2)+8(x+2)=(x+2)[3(x-2)+8]=(x+2)(3 x+2)\)

hoặc: \(3 x^{2}+8 x+4=4 x^{2}-x^{2}+8 x+4=\left(4 x^{2}+8 x+4\right)-x^{2}=(2 x+2)^{2}-x^{2}\)

\(=(2 x+2-x)(2 x+2+x)=(x+2)(3 x+2)\)

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Ví dụ :

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 - 16y²

= (y² + 8)² - (4y)²

= (y² + 8 - 4y)(y² + 8 + 4y)

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴+ 16

b) x⁴y⁴ + 64

c) x⁴y⁴ + 4

d) 4x⁴y⁴+ 1

e) x⁴+ 1 f) x⁸ + x + 1

g) x⁸ + x⁷+ 1

h) x⁸+ 3x⁴ + 1

k) x⁴ + 4y⁴

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a²- b² - 2x(a - b)

b) a² - b² - 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴y⁴+ 4

b) 4x⁴ + 1

c) 64x⁴ + 1

d) x⁴ + 64

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 16x⁴(x - y) - x + y

b) 2x³y - 2xy³- 4xy²- 2xy

c) x(y²- z²) + y(z²- x²) + z(x² - y²)

Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x - 4y + x²- 2xy + y²

b) x⁴ - 4x³ - 8x² + 8x

c) x³+ x²- 4x - 4

d) x⁴ - x² + 2x - 1

e) x⁴+ x³+ x² + 1

f) x³ - 4x² + 4x - 1

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x³+ x²y - xy² - y³

b) x²y² + 1 - x² - y²

c) x²- y²- 4x + 4y

d) x² - y² - 2x - 2y

e) x²- y²- 2x - 2y

f) x³ - y³ - 3x + 3y

Bài toán 5 : Tìm x, biết.

a)x³- x² - x + 1 = 0

b) (2x³ - 3)² - (4x² - 9) = 0

c) x⁴+ 2x³- 6x - 9 = 0

d) 2(x + 5) - x² - 5x = 0

Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a. A = x²- x + 1 

b. B = 4x²+ y² - 4x - 2y + 3

c. C = x²+ x + 1

d) D = x² + y² - 4(x + y) + 16

 e) E = x² + 5x + 8

g) G = 2x² + 8x + 9

Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a. A = -4x²- 12x

b) B = 3 - 4x - x²

c) C = x² + 2y²+ 2xy - 2y

d) D = 2x - 2 - 3x²

e) E = 7 - x²- y²- 2(x + y)

II. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử (Có đáp án)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x - 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)² - y² = (x + 2 - y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = -3: x₂ = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x² - y³ - y² = (8x³ - y³) + (4x² - y²)

b) x²+ 5x -6 = x² + 6x - x - 6

= x(x + 6) - (x + 6)

= (x + 6)(x - 1)

c. a⁴ + 16 = a⁴+ 8a² + 16 - 8a²

= (a² + 4)² - (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 - a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²-5x + 6):(x - 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x² - 5x + 6

= x² - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

nên (x² - 5x + 6):(x - 3)

= (x - 3)(x - 2): (x - 3)

= (x - 2)

Bài 5 Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( 2y + z )( 4x + 7y )
B. ( 2y - z )( 4x - 7y )
C. ( 2y + z )( 4x - 7y )
D. ( 2y - z )( 4x + 7y )

Lời giải:

Ta có 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) = 4x( 2y - z ) - 7y( 2y - z ) = ( 2y - z )( 4x - 7y ).

Chọn đáp án B.

Bài 6: Đa thức x³( x² - 1 ) - ( x² - 1 ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( x - 1 )²( x + 1 )( x² + x + 1 )
B. ( x³ - 1 )( x² - 1 )
C. ( x - 1 )( x + 1 )( x² + x + 1 )
D. ( x - 1 )²( x + 1 )( x² + x + 1 )

Lời giải:

Ta có x³( x² - 1 ) - ( x² - 1 ) = ( x² - 1 )( x³ - 1 ) = ( x - 1 )( x + 1 )( x - 1 )( x² + x + 1 )

= ( x - 1 )²( x + 1 )( x² + x + 1 )

Chọn đáp án D.

Sai lầm: Nhiều em học sinh mắc phải sai lầm là nhóm nhân tử ( x² - 1 )( x³ - 1 ) mà không nhận ra trong hai đa thức ( x² - 1 ) và ( x³ - 1 ) có nhân tử chung là ( x - 1 ) để đặt làm nhân tử chung. Dẫn đến nhiều em sẽ chọn đáp án B.

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức A = x² - y² + 2y - 1 với x=3 và y=1.

A. A = - 9.
B. A = 0.
C. A = 9.
D. A = - 1.

Lời giải:

Ta có A = x² - y² + 2y - 1 = x² - ( y² - 2y + 1 )

= x² - ( y - 1 )² = ( x - y + 1 )( x + y - 1 ) (hằng đẳng thức a² - b² = ( a - b )( a + b ) ).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 - 1 + 1 )( 3 + 1 - 1 ) = 3.3 = 9.

Chọn đáp án C.

Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + x² + y³ + xy

A. (x + y).(x² - xy + y² + x)
B. (x - y).(x² + xy + y² - x)
C. (x + y).(x² + xy + y² - x)
D. (x - y).(x² + xy - y² + x)

Lời giải:

Ta có: x³ + x² + y³ + xy = (x³ + y³) + (x² + xy)

= (x + y). (x² – xy + y²) + x.(x + y)

= (x + y). (x² - xy + y² + x)

Chọn đáp án A

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ – 9x + 2x²y + xy²

A. x. (x - y + 3).(x + y - 3)
B. x. (x + y + 3).(x + y - 3)
C. x. (x - y + 3).(x - y - 1)
D. x. (x + y + 1).(x - y - 3)

Lời giải:

Ta có: x³ – 9x + 2x²y + xy²

= x.(x² – 9 + 2xy + y²)

= x.[(x² + 2xy + y²) – 9]

= x.[(x + y)² – 3²]

= x.(x + y + 3).(x + y - 3)

Chọn đáp án B

Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁵ + 4x

A. x.(x² + 2 ).(x² - 2).
B. x.(x² + 2 + x).(x² + 2- x).
C. x.(x² + 2 + 2x).(x² + 2 - 2x).
D. x.(x⁴ + 4)

Lời giải:

Ta có:

x⁵ + 4x = x.(x⁴ + 4)

= x.[(x⁴ + 4x² + 4) - 4x²].

= x.[(x² + 2)² - (2x)²].

= x.(x² + 2 + 2x).(x² + 2 - 2x).

Chọn đáp án C

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử A = x² – 5x + 4

A. (x - 4).(x - 1)
B. (x – 4).(x + 1)
C. (x + 4).(x + 1)
D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

A = x² – 5x + 4 = x² – x - 4x + 4

A = (x² – x ) – (4x – 4)

A = x(x – 1) - 4(x – 1)

A = (x - 4). (x – 1)

Chọn đáp án A

III. Bài tập tự luyện về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- y² - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x² - xy

c) 3a²- 6ab + 3b² - 12c²

d) x² - 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² - ac - bc

f) x² - 2x - 4y² - 4y

g) x²y - x³- 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x²+ 2xy – 8y²+ 2xz + 14yz – 3z²

2. 3x²– 22xy – 4x + 8y + 7y²+ 1

3. 12x²+ 5x – 12y²+ 12y – 10xy – 3

4. 2x²– 7xy + 3y²+ 5xz – 5yz + 2z²

5. x²+ 3xy + 2y²+ 3xz + 5yz + 2z²

6. x²– 8xy + 15y²+ 2x – 4y – 3

7. x⁴– 13x²+ 36

8. x⁴+ 3x²– 2x + 3

9. x⁴+ 2x³+ 3x² + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)³+ (b – c)³+ (c – a)³

2. (a – x)y³– (a – y)x³– (x – y)a³

3. x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

4. (x + y + z)³– x³– y³ – z³

5. 3x⁵– 10x⁴– 8x³ – 3x² + 10x + 8

6. 5x⁴+ 24x³– 15x² – 118x + 24

7. 15x³+ 29x²– 8x – 12

8. x⁴– 6x³+ 7x² + 6x – 8

9. x³+ 9x²+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b²– c²) + b(a + c)(a²– c²) + c(a + b)(a² – b²)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b²– c²) – b(a²– c²) + c(a² – b²)

4. (x – y)⁵+ (y – z)⁵+ (z – x)⁵

5. (x + y)⁷– x⁷– y⁷

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)⁵– x⁵– y⁵ – z⁵

8. a(b²+ c²) + b(c²+ a²) + c(a² + b²) + 2abc

9. a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài tập 6 Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x²+ x)²+ 4x² + 4x – 12

2. (x²+ 4x + 8)²+ 3x(x² + 4x + 8) + 2x²

3. (x²+ x + 1)(x²+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x²+ 2x)²+ 9x² + 18x + 20

6. x²– 4xy + 4y²– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x²+ x)²+ 4(x² + x) – 12

9. 4(x²+ 15x + 50)(x²+ 18x + 72) – 3x²