Bài tập Hiệu hai bình phương (Có đáp án) Hằng đẳng thức số 3

Bài tập Hiệu hai bình phương bao gồm nhiều dạng câu hỏi khác nhau có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tự luyện. Qua đó các bạn học sinh lớp 8 củng cố và mở rộng kiến thức giải toán về hằng đẳng thức của mình tiến bộ hơn.

Hiệu hai bình phương tài liệu vô cùng hữu ích, các em học sinh sẽ được thử sức với các dạng bài tập trắc nghiệm kết hợp tự luận từ cơ bản đến nâng cao. Qua tài liệu này giúp các em tự tin kiểm tra và nắm vững kiến thức mình đã học ở chương trình về hằng đẳng thức đáng nhớ. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu bài tập về hiệu hai bình phương mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Bên cạnh đó để nâng cao kiến thức Toán 8 các bạn xem thêm bài tập toán nâng cao lớp 8, bài tập về Bình phương của một tổng, bài tập hiệu hai bình phương.

1. Hiệu hai bình phương là gì?

 Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có : 

A² - B² = (A – B).(A + B)

Ví dụ :

(2x+1)(2x-1) = (2x)² -1² = 4x² -1

91² - 9² = (91 - 9)(91 + 9) = 82.100 = 8200

62.78 = (70 - 8)(70 + 8) =70² - 8² = 4900 - 64 = 4836

2. Hằng đẳng thức

Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

3. Bài tập hiệu hai bình phương

Bài 1: Tính nhanh 

Tính nhanh

a) 101²

b) 47.53

c) 20,1.19,9

d) 9⁸.2⁸ - (18⁴ - 1)(18⁴ + 1)

e) 100² - 99² + 98² - 97² +......+ 2² - 1²

f) (20² + 18² + 16² +...........+ 4² + 2²) - (19² + 17² + 15² +.............+ 3² +1²)

Gợi ý đáp án 

a) 101² = (101² - 1) + 1 = (101 + 1)(101 - 1) +1 = 100.102 + 1 =10201

b) 47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50² - 3² = 2500 - 9 =2491

c) 20,1.19,1 = (20 + 0,1)(20 - 0,1)= 20² - 0,1² =400 - 0,01 =399,99

d) 9⁸.2⁸ - (18⁴ - 1)(18⁴ + 1) = (9.2)⁸ - ((18⁴)² - 1) = 18⁸ - (18⁸ - 1) = 18⁸ - 18⁸ + 1 = 1

e) Đặt A = 100² - 99² + 98² - 97² +..............+ 2² - 1²

Ta có:

A = (100² - 99²) + (98² - 97²) +..............+ (2² - 1²)

= (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + ................ + (2 - 1)(2 + 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + ........................................+ 2 + 1

= 100.101 : 2

= 5050

f) Đặt B = ( 20² + 18² + 16² +..............+ 4² + 2²) - (19² +17² + 15² +.................+ 3² + 1²)

Ta có:

B = ( 20² + 18² + 16² +..............+ 4² + 2²) - (19² +17² + 15² +.................+ 3² + 1²)

= (20² - 19²) + (18² - 17²) + (16² - 15²) + .....................+ (4² - 3²) + (2² - 1²)

= (20 + 19)(20 - 19) + (18 - 17)(18 + 17) + (16 - 15)(16 + 15) +............+ (4 - 3)(4 + 3) + (2 - 1)(2 + 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 +..................................+ 4 + 3 + 2 + 1

= 20.21 : 2

= 210

*Mẹo nhỏ sử dụng máy tính casio để tách tích thành tổng và hiệu

Bài 2: Thực hiện phép tính:

Gợi ý đáp án

a) x² – 4y² = x² – (2y)² = (x – 2y).(x + 2y)

b) (x + y)² – (2 – y)²

Cách 1: (x + y)² – (2 – y)²

= (x + y + 2 – y).(x + y – 2 + y)

= (x + 2).(x + 2y – 2)

= x² + 2xy – 2x + 2x + 4y – 4

= x² + 2xy + 4y - 4

Cách 2: (x + y)² – (2 – y)²

= x² + 2xy + y² – (4 – 4y + y²)

= x² + 2xy + y² – 4 + 4y - y²

= x² + 2xy – 4 + 4y

Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng hiệu hai bình phương:

Gợi ý đáp án

a) (2x – 3y)(2x + 3y) = (2x)² – (3y)² = 4x² – 9y²

b) (1 + 3y)(3y – 1) = (3y)² – 1² = 9y² - 1

c) (4a – 2)(4a + 2) = (4a)² – 2² = 16a² - 4

d) (a – 3b)(a + 3b) = a² – (3b)² = a² – 9b²

Bài 4 Tính nhanh

Gợi ý đáp án

a) 45 . 55 = (50 – 5).(50 + 5) = 50² – 5² = 2500 – 25 = 2475

b) 55 . 105 = (80 – 25).(80 + 25) = 80² – 25² = 6400 – 625 = 5775

Bài 5: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) a² – b² = (a – b)(a + b);

b) 3x(2x – 1) = 6x² + 3x;

c) 2(x – 1) = 4x + 3;

Gợi ý đáp án 

a) Ta có: (a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b)

= a² + ab – ab – b² = a² – b².

Vậy đẳng thức a² – b² = (a – b)(a + b) là hằng đẳng thức.

b) Xét đẳng thức 3x(2x – 1) = 6x² + 3x

Khi thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức ta thấy VT = 3 và VP = 9, do đó hai vế không bằng nhau.

Vậy đẳng thức 3x(2x – 1) = 6x² + 3x không phải là hằng đẳng thức.

c) Xét đẳng thức 2(x – 1) = 4x + 3

Khi thay x = 0 vào hai vế của đẳng thức ta thấy VT = –2 và VP = 3, do đó hai vế không bằng nhau.

Vậy đẳng thức 2(x – 1) = 4x + 3 không phải là hằng đẳng thức.

Bài 5: Khai triển: 

a) (2x – 3)²;

b) (3y – x)².

Gợi ý đáp án

a) (2x – 3)² = (2x)² ‒ 2.2x.3 + 3² = 4x² – 12x + 9.

b) (3y – x)² = (3y)² ‒ 2.3y.x + x² =9y² – 6xy + x².

Bài 6: Rút gọn biểu thức:

a) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²;

b) (x – y – z)² – (x – y)² + 2(x − y)z.

Gợi ý đáp án 

a) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

= 2(x² ‒ y²) + x² + 2xy + y² + x² ‒ 2xy + y²

= 2x² ‒ 2y² + x² + 2xy + y² + x² ‒ 2xy + y²

= (2x² + x² + x²) + (‒2y² + y² + y²) + (2xy ‒ 2xy)

= 4x².

b) (x – y – z)² – (x – y)² + 2(x − y)z

= [(x – y) – z]² – (x – y)² + 2(x − y)z

= (x – y)² – 2(x – y)z + z² – (x – y)² + 2(x – y)z

= [(x – y)² – (x – y)²] + [–2(x − y)z + 2(x − y)z] + z²

= z².

4. Bài tập về hiệu hai bình phương (Tự luyện)

Bài 1. Rút gọn biểu thức x² – 16 + 22x – 7x – 15x rồi viết dưới dạng tích ta được

A. (x – 16)(x + 16);
B. (x – 4)(x + 4);
C. (x – 4)(x – 4);
D. (x + 4)(x + 4).

Bài 2. Tính nhanh 62 . 78 ta được kết quả là

A. 4 836;
B. 4 638;
C. 4 863;
D. 4 368.

Bài 3. Viết x² – 4y² dưới dạng tích, ta được

A. x + 2y(x – 2y);
B. (x – 4y)(x – 4y);
C. (x + 2y)(x – 2y);
D. (x + 4y)(x + 4y).

Bài 4. Thực hiện tính nhanh 91² – 9² ta được kết quả là

A. 9 109;
B. 9 100;
C. 8 100;
D. 8 200.

Bài 5. Bạn Lan thực hiện tính nhanh 101² ta được kết quả là

A. 10 000;
B. 10 200;
C. 12 001;
D. 12 100.

Bài 6. Rút gọn biểu thức (x + y)² – (2 – y)², ta được

A. (x + 2)(x + 2y – 2);
B. (x – 2)(x + 2y – 2);
C. (x + 2)(x + 2y + 2);
D. (x – 2)(x – 2y – 2).

Bài 7. Viết biểu thức (2x – 3y)(2x + 3y) dưới dạng hiệu hai bình phương ta được

A. 9x² – 9y²;
B. 4x² – 4y²;
C. 2x² – 3y²;
D. 4x² – 9y².

Bài 8. Biểu thức (1 + 3y)(3y – 1) viết dưới dạng hiệu hai bình phương là

A. 9y² – 1;
B. 9y² – 9;
C. 9y² – 3;
D. 9y² + 1.

Bài 9. Tính nhanh 55 . 105 bằng cách áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta được kết quả là

A. 5 775;
B. 5 755;
C. 5 777;
D. 5 757.