Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn Ôn tập Toán 9

Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách chứng minh, tính chất kèm theo 4 ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập hình học về chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Đường tròn là gì?

- Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách đều O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O)

+ Đường tròn đi qua các điểm A₁, A₂, …, A_n gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A₁A₂…A_n

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.

2. Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Cách 1: Chứng minh các điểm cùng cách đều một điểm O một khoảng bằng R. Khi đó các điểm đó sẽ thuộc đường tròn tâm O, bán kính R.

Cách 2: Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh các điểm liên tiếp cùng nhìn một đoạn AB cố định dưới một góc α bằng nhau. Hay chính là các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB, nên các điểm đó cùng thuộc một đường tròn chứa cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

3. Tính chất đối xứng của đường tròn

a) Tâm đối xứng

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

b) Trục đối xứng

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

4. Ví dụ chứng minh các điểm nằm trên đường tròn

Ví dụ 1: Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60^o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. 

Hướng dẫn giải

\(\widehat{BOC}\) là góc ở tâm chắn cung BC

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

⇒\(\widehat{BOC}\) = 2\(\widehat{BAC}\) = 2.60⁰ = 120⁰ (1)

+ Tứ giác AC’HB’ có:

\(\widehat{A} + \widehat{AB'H}  + \widehat{AC'H} + \widehat{B'HC'}\)= 360⁰

Mà \(\widehat{A}\) = 60^{0 ,} \(\widehat{AB'H}\)= \(\widehat{AC'H}\) = 90^o ( BB’, CC’ là các đường cao)

\(\widehat{B'HC'}\) =   360⁰- (60⁰ +90⁰ + 90⁰) = 120⁰

\(\widehat{B'HC} = \widehat{B'HC'}\)= = 120^{0 (2)}

+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra BI, CI lần lượt là các tia phân giác của \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\)

\(⇒\widehat{IBC} = 1/2\widehat{ABC}\)

\(⇒\widehat{ICB}\) = \(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ACB}\)

Xét tam giác IBC, ta có: \(\widehat{BIC} = 180 - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB})\)

 180⁰- 60⁰ = 120⁰ (3)

Từ (1), (2) và (3) 

\(\widehat{BHC} = \widehat{BIC} =\widehat{BOC} =\)120⁰

Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120^o.

Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn BC.

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120^o dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E ( E nằm giữa A và D). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.

a. Chứng minh IF ⊥ AB tại J

b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB

\(\widehat{ADB}\) = 90⁰ \(\widehat{RJP}\)= 90⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB

Mà BE giao AD tại I

⇒ I là trực tâm của tam giác AFB

⇒ IF là đường cao của tam giác AFB

⇒ IF ⊥ AB tại J (đpcm)

b. ΔPJR vuông tại J (IJ ⊥ AB) ⇒ \(\widehat{RJP}\)=   90⁰⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR (*)

P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF

⇒ PQ // BF

Mà AD BF

⇒ AD ⊥ PQ

R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA

⇒ RQ // AD

Mà AD ⊥ PQ

⇒ RQ ⊥ PQ

⇒ \(\widehat{RQP}\) = 90⁰

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm của tam giác ABM. Gọi Q là giao điểm của BM và GO. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGQ 

Gợi ý đáp án

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của BC.

Gọi K là giao điểm của AO và BM

Dựng các đường trung tuyến MN và BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng tâm G

Do MN // BC

=> MN ⊥ AO

Do K là giao của AO và NM

=> K là trọng tâm tam giác ABC

=> GK // AC

Mặt khác ta có OM ⊥ AC

=> GK ⊥ OM

=> K là trực tâm của tam giác OMG

=> MK ⊥ OG

Như vậy tam giác BGQ vuông tại Q

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GBQ là trung điểm I của BG

Ví dụ 4:  Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo CA sao cho AN = AC/4. Chứng minh 4 điểm M, N, C, D nằm trên cùng một đường tròn. 

Gợi ý đáp án

Ta có tứ giác MNCD có góc MCD = 90⁰

=> Để chứng minh 4 điểm M, N, C, D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh góc MND = 90⁰

Cách 1: Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC và AD lần lượt tại E và F

Xét hai tam giác vuông NEM và DFN cps

EM = NF = AB/4

EN = DF = AB /4

=> ∆NEM = ∆DFN

\(\Rightarrow \widehat {NME} = \widehat {DFN},\widehat {MNE} = \widehat {NDF} \Rightarrow \widehat {MNE} + \widehat {DNF} = {90^0}\)

Hay tam giác MND vuông tại N

=> 4 điểm M, N, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kinh MD

Cách 2: Gọi K là trung điểm của DI với I là giao điểm của hai đường chéo

Dễ thấy MCKN là hình bình hành

=> MN // CK

Mặt khác do NK ⊥ CD, DK ⊥ CN => K là trực tâm của tam giác CDN

=> CK ⊥ ND => MN ⊥ ND