Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 81, 82, 83, 84, 85, 86 - Tập 2

Giải Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 2 trang 81, 82, 83, 84, 85, 86.

Toán 11 Kết nối tri thức trang 86 tập 2 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 9.1 đến 9.5 giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 trang 86 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 2 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 trang 81 Kết nối tri thức - Tập 2

Bài 9.1

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x₂ – x tại x₀ = 1;

b) y = −x₃ tại x₀ = −1.

Gợi ý đáp án

a) \(f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2} - (1+h) - (1^{2} - 1)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^{2} - 1 - h - 1 + 1}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + h}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} (h + 1)\)

= 1 + 1

= 2

b) \(f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{-(h-1)^{3} + 1^{3}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{-h^{3} + 3h^{2} - 3h}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} (-h^{2} + 3h - 3)\)

= 3

Bài 9.2

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³

Gợi ý đáp án

a) \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{k(x+h)^{2}+c - (kx^{2}+c)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{kx^{2}+2kxh+kh^{2}+c-kx^{2}-c}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{2kxh+kh^{2}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} (2kx + kh)\)

= 2kx

b) \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} (3x^{2}+3xh+h^{2})\)

\(= 3x^{2}\)

Bài 9.3

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = −x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Gợi ý đáp án

a) Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_{0}\)

\(f^{'}(x)=-2x+4\)

đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_{0}=1\)

\(f ^{'}(1)=-2(1)+4=2\)

phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm \(x_{0}=1\) là:

\(y-f(x_{0})=f^{'}(x_{0})(x-(x_{0})\Rightarrow y-f(1)=2(x-1)\)

Thay f(1) = 3 , ta được phương trình tiếp tuyến:

\(y-3 =2(x-1)\Rightarrow y=2x+1\)

b) Tại điểm \(y_0=0\) ta có x = 2

Đường tiếp tuyến tại điểm (2,0) có độ dốc bằng\(y'=-2\times2+4=-4\). Sử dụng công thức tương tự, ta có:

\(y-0 =- 4(x-2)\Rightarrow y= -4x+8\)

Bài 9.4

Gợi ý đáp án

Tại thời điểm mà vật đạt độ cao bằng 0, ta có

\(0=19,6t - 4,9 t^{2}\)

\(0=t(19,6 - 4,9 t)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=0 & & \\ t=4 & & \end{matrix}\right.\)

Khi t = 4 (thời điểm vật chạm đất), ta có:

\(19,6 -9,8(4)=-19,6\)

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s

Bài 9.5

Gợi ý đáp án 

a) Ta có

\(y' = 2ax + b\)

Ta lại có phương trình của tiếp tuyến là:

\(y-y_{p}=y'(x_{p})(x-x_{p})\)

Thay các giá trị này vào phương trình tiếp tuyến, ta có:

\(0=2ap+b\)

Vậy \(b=-2ap\) thay x=0 vào phương trình đường cong ta có

\(y=a(0)^{2}+c(0)+c=c \Rightarrow c=yp\)

b) \(y'=2ax+b=c\) khi \(x=0\Rightarrow y'(0)b\)

c) Ta có

\(y'(P)=2aP+b=0,5\)

\(y'(P)=2aP+b=0,75\)

Trừ hai phương trình, ta có:

\(2a(Q-P)=-1,25\)

\(Q-P=20\)