Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 104, 105, 106, 107, 108,109

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 104→109.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 109 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 5.1 đến 5.6 giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 1 Bài 15 Giới hạn của dãy số Kết nối tri thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 109

Bài 5.1 trang 109

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}\)

b) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+2n}-n)\)

Gợi ý đáp án

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(2+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1}{2}\)

b)

\(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{2n^{2}+1}-n)=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=1\)

Bài 5.2 trang 109

Cho hai dãy số không âm \((u_{n}) và (v_{n})\) với \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=2\) và \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=3\)

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}\)

b) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}\)

Gợi ý đáp án

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}=\frac{(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n})^{2}}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}-\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}}=\frac{2^{2}}{3-2}=4\)

b) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+2v_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+2\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=2+2\times 3=8\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}=\sqrt{8}\)

Bài 5.3 trang 109

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) \(u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n-1}\)

b) \(v_{n}=\sqrt{2n^{2}+1}-n\)

Gợi ý đáp án

a) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+1}{2n-1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n^{2}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}})}\)

Ta có: \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n^{2}})=1,\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}})=0 suy ra \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty\)

b) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{2n^{2}+1}-n=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2n^{2}+1-n^{2}}{\sqrt{2n^{2}+1}+n}\)

\(=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+1}{n^{2}(\sqrt{\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}+\frac{1}{n})}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}+\frac{1}{n}}=+\infty\)

Bài 5.4 trang 109

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...

b) 3,(102) = 3,102102102...

Gợi ý đáp án

a) 1,121212...= 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= \(1 +12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+\)...

\(12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+\)... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=12\times 10^{-2},q=10^{-2} nên 1,121212...=1+\frac{u_{1}}{1-q}=1+\frac{12\times 10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{37}{33}\)

b) 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 +...

= \(3+102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}\)...

\(102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}+\)... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=102\times 10^{-3}, q=10^{-3} nên 3,(102)=3+\frac{u_{1}}{1-q}=3+\frac{102\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1033}{333}\)

Bài 5.5 trang 109

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Gợi ý đáp án

Đang cập nhật...

Bài 5.6 trang 109

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn \(AA_{1}A_{2}A_{3}\)... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α

Gợi ý đáp án

Độ dài đường gấp khúc tạo thành cấp số nhân với số hạng tổng quát là: u_n = sinα × h × (sinα)ⁿ⁻¹

Độ dài đường gấp khúc: AA₁ + A₂A₃ +....

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = sinα × h, q = sinα nên AA₁ + A₂A₃ + .... = \(\frac{sinα × h}{1 − sinα}\)