Đối xứng tâm: Lý thuyết & Bài tập Ôn tập môn Toán lớp 8

Mời quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 8 cùng tham khảo tài liệu Lý thuyết & Bài tập Đối xứng tâm.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập đối xứng tâm Hình học lớp 8. Qua đó các bạn có thêm nhiều tài liệu tham khảo, trau dồi vốn từ, củng cố kiến thức Toán 8. Chúc các bạn học tốt.

I. Lý thuyết

1. Hai điểm đối xứng qua một điểm

Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O  nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Ví dụ: A đối xứng với B qua O thì O là trung điểm của đoạn AB.

2. Hai hình đối xứng qua một điểm

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm I và ngược lại.

 

Điểm I gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

3. Hình có tâm đối xứng

Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng qua hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H.

Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo nên O là tâm đối xứng của ABCD.

II. Bài tập trắc nghiệm & tự luận

A. Trắc nghiệm

Bài 1: Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau

A. Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O thuộc đoạn nói hai điểm đó.

B. Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O các đều hai điểm đó

C. Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

D. Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là đoạn thẳng trung trực của hai điểm đó.

Chọn đáp án C. Vì định nghĩa Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Bài 2: Cho AB = 6cm, A' là điểm đối xứng với A qua B, AA' có độ dài bằng bao nhiêu ?

A. AA' = 3cm

B. AA' = 12cm

C. AA' = 6cm

D. AA' = 9cm

Chọn đáp án B Vì:

Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Khi đó, A' là điểm đối xứng với A qua B thì AB = BA' = 6cm

⇒ AA' = AB + BA' = 6 + 6 = 12cm

Bài 3: Chọn phương án sai trong các phương án sau đây

A. Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

B. Hai góc đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

C. Hai đường thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

D. Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

Chọn đáp án C Vì:

Ta có tính chất: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

Các phương án đúng là:

+ Đáp án A: Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

+ Đáp án B: Hai góc đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

+ Đáp án D: Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

→ Đáp án C sai.

Bài 4: Hình nào dưới đây có tâm không phải là giao điểm của hai đường chéo?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình thoi

D. Hình thang

Chọn đáp án D Vì:

Các hình có tâm đối xứng là giao điểm điểm của hai đường chéo là

+ Hình bình hành

+ Hình chữ nhật

+ Hình thoi

→ Hình thang không có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Bài 5: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đối xứng với nhau qua điểm I biết AB = 4cm, AC = 8cm và chu vi của tam giác ABC bằng 22cm. Hỏi độ dài cạnh B'C' của tam giác A'B'C' là?

A. B'C' = 9cm

B. B'C' = 8cm

C. B'C' = 4cm

D. B'C' = 10cm

A. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A, F là điểm đối xứng với D qua C. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua B.

Trả lời

Theo giả thiết ta có:

+ A là trung điểm của DE thì AD = AE ( 1 )

+ C là trung điểm của DF thì CD = CF ( 2 )

Ta có ABCD là hình bình hành nên AD//BC

⇒ AE//BC ( 3 ) và AD = BC ( 4 )

Từ ( 1 ), ( 4 ) ⇒ AE = BC ( 5 )

Từ ( 3 ) và ( 5 ), tứ giác ACBE có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng tính chất và định nghĩa về hình bình hành ACBE ta được \(\left\{\begin{array}{l}A C / / B E \\ A C=B E\end{array}\right.\)

Chứng minh tương tự, tứ giác ACBF là hình bình hành

Ta được: \(\left\{\begin{array}{l}A C / / B F \\ B F=A C\end{array}\right.\)

Từ ( 6 ), ( 7 ) ⇒ E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, F là điểm đối xứng với D qua C. Chứng minh:

a, AC // EF

b, Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.

Hướng dẫn giải

E là điểm đối xứng với D qua A ⇒ A là trung điểm của DE.

F là điểm đối xứng với D qua C ⇒ C là trung điểm của DF.

a) Xét Δ DEF có \(\left\{\begin{array}{l}D A=A E \\ D C=C F\end{array} .\right.\)

⇒ AC là đường trung bình của Δ DEF.

⇒ AC // EF

b) AC là đường trung bình của tam giác Δ DEF

⇒ AC = \(\frac{1}{2}\)EF

+ ABCD là hình bình hành \(\left\{\begin{array}{l}A B / / C D \\ A B=C D\end{array}\right.\)

Mà DC = CF ⇒ AB = \(\frac{1}{2}\) DF.

⇒ AB là đường trung bình của Δ DEF

Do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

Bài 3: Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh B đối xứng với C qua O.

Hướng dẫn giải

Vẽ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy

Vẽ hai điểm B, C sao cho H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC thì B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy.

Vì O ∈ Ox, O ∈ Oy nên O đối xứng với O qua Ox, Oy.

Áp dụng tính chất của phép đối xứng ta được

\(\left\{\begin{array}{l}O A=O B \\ O A=O C\end{array} \Rightarrow O B=O C\right.\)

Và  \(\left\{\begin{array}{l}\widehat{O}_{1}=\widehat{O}_{2} \\ \widehat{O}_{3}=\widehat{O}_{4}\end{array} \Rightarrow \frac{\widehat{O}_{1}+\widehat{O}_{4}}{2}=\frac{\widehat{O}_{2}+\widehat{O}_{3}}{2}=90^{\circ}\right.\)

⇒ BOC = 180 độ. (2)

Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra O là trung điểm của BC hay B đối xứng với C qua O.