Toán 12 Bài tập cuối chương II Giải Toán 12 Kết nối tri thức trang 73, 74

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương II là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 73, 74.

Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 Bài tập cuối chương II được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài tập cuối chương II: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Eballsviet.com:

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 73, 74 - Trắc nghiệm

Bài 2.25

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{0}\)

B. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\)

C. \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}\)

D. \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

Đáp án đúng: D

Bài 2.26

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CC'. Vectơ \(\overrightarrow{AM}\) bằng

A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}\).

B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}\).

C. \(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}\).

D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}\).

Đáp án đúng: B

Bài 2.27

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'}\)

B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}\)

C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'}\)

D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'}\)

Đáp án đúng: D

Bài 2.28

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}\) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{4}\)

B. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

C. \(\frac{{{a^2}}}{3}\)

D. a2

Đáp án đúng: B

Bài 2.29

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left(1;-2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;0;3\right)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;-2;5\right)\)

B. \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(3;-2;-1\right)\)

C. \(3\overrightarrow{a}=\left(3;-2;2\right)\)

D. \(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(0;-4;7\right)\)

Đáp án đúng: C

Bài 2.30

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(−1; 0; 3), B(2; 1; − 1) và C(3; 2; 2). Tọa độ của điểm D là:

Đáp án đúng: C

Bài 2.31

Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; − 1), B(0; − 1; 2) và G(2; 1; 0). Biết tam giác ABC có trọng tâm là điểm G. Tọa độ của điểm C là

Đáp án đúng: A

Bài 2.32

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec{a}\) = (2; 1; − 3), \(\vec{b}\) = (− 2; − 1; 2). Tích vô hướng \(\vec{a} . \vec{b}\) bằng

Đáp án đúng: B

Bài 2.33

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec{a}\) = (2; 1; − 2), \(\vec{b}\) = (0; − 1; 1). Góc giữa hai vectơ \(\vec{a} , \vec{b}\) bằng

Đáp án đúng: D

Bài 2.34

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)\). Côsin của góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) bằng

A. \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng: A

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 74 - Tự luận

Bài 2.35

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\)

Ta có: \(\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}\)

\(=\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}\)

\(=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

Vậy \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\)

Bài 2.36

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}\). Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow {AD}\) và \(\overrightarrow {BC}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\)

⇔ \(2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DN}\) (1)

Ta có: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta có:

\(3\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA})+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN})\)

Suy ra \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{AD}\)

Bài 2.37

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG}\) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}\) và \(\overrightarrow {AA'}\).

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Do G là trọng tâm của tam giác BDA' nên ta có:

\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=0\)

⇔ \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD}=0\)

⇔ \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\)

⇔ \(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)

b) Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}\)

Do đó \(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AC'} \text{ hay } \overrightarrow{AC'}=3\overrightarrow{AG}\)

Vậy A, G, C' thẳng hàng.

Bài 2.38

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; − 1; 3), B(1; 1; − 1) và C(− 1; 0; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Hướng dẫn giải:

a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

\(G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)\)

b) Ta có M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z)

\(\overrightarrow{BM}=(-1;-1;z+1);\overrightarrow{AC}=(-3;1;-1)\)

Do đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên \(\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\)

⇔ 3 + (- 1) - (z + 1) = 0

⇔ z = 1

Vậy M(0; 0; 1)

Bài 2.39

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(− 1; 2; 3) và O'(1; − 2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(1;5;4)\) ⇒ B(1; 5; 4)

\(\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OO'}=(3;1;3)\) ⇒ A'(3; 1; 3)

\(\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO'}=(0;0;5)\) ⇒ C'(0; 0; 5)

\(\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO'}=(2;3;6)\) ⇒ B'(2; 3; 6)

Bài 2.40

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)\).

a) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\).

b) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u\).

c) Tính \(\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\overrightarrow{u}=\left(-4;-1;4\right)\)

b) Độ dài vectơ \(\overrightarrow u\) là: |\(\overrightarrow u\)| = \(\sqrt{33}\)

Bài 2.41

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\).

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Bài 2.42

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).