Toán 10 Bài tập cuối chương IV - Kết nối tri thức với cuộc sống Giải SGK Toán 10 trang 71 - Tập 1

Bài tập cuối chương 4 Toán 10 Kết nối tri thức giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các bài tập trắc nghiệm, tự luận từ 4.27→4.38 trong SGK chương Vectơ trang 71, 72.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 71, 72 - Tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Bài tập cuối chương 4 Toán 10 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 10 trang 44, 45 Kết nối tri thức tập 1

Bài 4.27 trang 71

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A.\(\overrightarrow u = (2;3)\) và \(v\overrightarrow v = \left( {\frac{1}{2};6} \right)\)

B. \(\overrightarrow a = (\sqrt 2 ;6)\) và \(\overrightarrow b = (1;3\sqrt 2 )\)

C. \(\overrightarrow i = (0;1)\)và \(\overrightarrow j = (1;0)\)

D. \(\overrightarrow c = (1;3)\) và \(\overrightarrow d = (2; - 6)\)

Gợi ý đáp án

A. Ta có: \(\frac{2}{{\frac{1}{2}}} = 4 \ne \frac{3}{6}\) nên \(\overrightarrow u\)và \(\overrightarrow v\) không cùng phương.

B. Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 }}{1} = \frac{6}{{3\sqrt 2 }} = \sqrt 2 > 0\)nên \(\overrightarrow a\)và \(\overrightarrow b\)cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.\(\overrightarrow v = \left( {4;6} \right)\)

C. Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0.1 + 1.0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow i \bot \overrightarrow j\)

Vậy \(\overrightarrow i\)và \(\overrightarrow j\)không cùng phương.

D. Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 6}}\) nên \(\overrightarrow c\)và \(\overrightarrow d\)không cùng phương.

Bài 4.28 trang 71

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. \(\overrightarrow u = (2;3)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6} \right)\)

B. \(\overrightarrow a = (1; - 1)\) và \(\overrightarrow b = ( - 1;1)\)

C. \(\overrightarrow z = (a;b)\) và \(\overrightarrow t = ( - b;a)\)

\(D. \overrightarrow n = (1;1)\) và \(\overrightarrow k = (2;0)\)

Gợi ý đáp án

Chọn đáp án C

D. Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow k = 1.2 + 1.0 = 2 \ne 0\) nên \(\overrightarrow n\)và \(\overrightarrow k\)không vuông góc với nhau.

Bài 4.29 trang 71

Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

\(A. \overrightarrow a = (1;1)\)

\(B. \overrightarrow b = (1; - 1)\)

\(C. \overrightarrow c = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\)

\(D. \overrightarrow d = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Gợi ý đáp án

Chọn D

Bài 4.30 trang 71

Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow b = ( - 2;0)\)có số đo bằng:

Gợi ý đáp án

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.( - 2) + ( - 1).0 = - 2 \ne 0.\)

Lại có: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 2 ;\;|\overrightarrow b | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2}} = 2.\)

\(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.\;|\overrightarrow b |}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 2 .2}} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

\(\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^o}\)

Chọn C

Bài 4.31 trang 71

Khẳng định nào sau đây là đúng?

\(A. ( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } )\overrightarrow c = \overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b .\overrightarrow c })\)

\(B. {( {\overrightarrow a .\overrightarrow b })^2} = {\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}\)

\(C. \overrightarrow a .\overrightarrow b = | {\overrightarrow a } |.\left| {\overrightarrow b } \right|\,\sin ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )\)

\(D. \overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b - \overrightarrow c }) = \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow a .\,\overrightarrow c\)

Gợi ý đáp án

Chọn D. Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì \(({\overrightarrow a .\overrightarrow b})\overrightarrow c = [ {|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\;\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )} ].\overrightarrow c \ne \overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b .\overrightarrow c }) = \overrightarrow a \,\,[ {|\overrightarrow b |.|\overrightarrow c |\;\,\cos ( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c })}]\)

B. Sai vì 

\((\overrightarrow a .\overrightarrow b)^2 = {[{\overrightarrow a .\overrightarrow b = | {\overrightarrow a } |.| {\overrightarrow b }|\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b })}]^2} = {\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}.{\cos ^2}( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ) \ne \;\;{\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}\)

C. Sai vì 

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = | {\overrightarrow a }|.| {\overrightarrow b } |\,\cos ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }) \ne | {\overrightarrow a }|.| {\overrightarrow b }|\,\sin ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b })\)

Bài 4.32 trang 71

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

\(A. \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}\)

\(B. \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^o} và \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = {a^2}\)

\(C. \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = {a^2}\sqrt 2\)

\(D. \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = - {a^2}\)

Gợi ý đáp án

Chọn B

Bài 4.33 trang 71

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MB}\) và \(\overrightarrow {MC}\)

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC} .\)

Gợi ý đáp án

a) M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB}\) và \(\overrightarrow {MC}\) ngược hướng với nhau.

Lại có: \(MB = 3 MC \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - 3.\overrightarrow {MC}\)

b) Ta có:\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM}\)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC nên \overrightarrow {BM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC}\)

Lại có:\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}\) (quy tắc hiệu)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC}\)

Vậy \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC}\)

Bài 4.34 trang 72

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} .\)

Gợi ý đáp án

Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow - \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \end{array}\)

Bài 4.35 trang 72

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {BA} và \overrightarrow {BC}\)

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(\overrightarrow {BA}\) = (2 - ( - 2);1 - 5) = (4; - 4) và \(\overrightarrow {BC}\) = ( - 5 - ( - 2);2 - 5) = ( - 3; - 3)

b)

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 4.( - 3) + ( - 4).( - 3) = 0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {BA} \bot \overrightarrow {BC} hay \widehat {ABC} = {90^o}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có:\(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{( - 4)}^2}} = 4\sqrt 2 ; BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 2\)

Và \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5\sqrt 2\) (do \(\Delta\) ABC vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 .3\sqrt 2 = 12\)

Chu vi tam giác ABC là: \(AB + BC + AC = 4\sqrt 2 + 3\sqrt 2 + 5\sqrt 2 = 12\sqrt 2\)

c) Tọa độ của trọng tâm G là \(\left( {\frac{{2 + ( - 2) + ( - 5)}}{3};\frac{{1 + 5 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)\)

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = ( - 3; - 3)\) và \(\overrightarrow {AD} = (a - 2;b - 1)\)

Vì BCAD là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a - 2;b - 1) = ( - 3; - 3)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = - 3\\b - 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy D có tọa độ (-1; -2)

Bài 4.36 trang 72

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {CD}\)

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {CD}\) cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} và \overrightarrow {BE}\) cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \overrightarrow {AE} theo các vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC} .\)

Gợi ý đáp án

a) Ta có:\(\overrightarrow {AB} = (3 - 1;4 - 2) = (2;2) và \overrightarrow {CD} = (6 - ( - 1);5 - ( - 2)) = (7;7)\)

b) Dễ thấy: (2;2) \(= \frac{2}{7}.(7;7) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD}\)

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {CD}\)cùng phương.

c) Ta có:\(\overrightarrow {AC} = ( - 1 - 1; - 2 - 2) = ( - 2; - 4) và \overrightarrow {BE} = (a - 3;1 - 4) = (a - 3; - 3)\)

Để\(\overrightarrow {AC} và \overrightarrow {BE}\) cùng phương thì \(\frac{{a - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy \(a = \frac{3}{2} hay E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) thì hai vectơ \(a = \frac{3}{2} hay E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\)và \(\overrightarrow {BE}\) cùng phương

d)

Ta có:\(\overrightarrow {BE} = \left( {\frac{3}{2} - 3; - 3} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right) ; \overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC}\)

Mà \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}\) (quy tắc cộng)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC}\)

Bài 4.37 trang 72

Cho vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}.\overrightarrow a\) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}\) là một vecto đơn vị cùng hướng với \(\overrightarrow a\).

Gợi ý đáp án

Ta có:

- Tích của một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\) với một số thực k > 0 là một vecto, kí hiệu là \(k.\overrightarrow a\), cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(k.\left| {\overrightarrow a } \right|\)

=> \(\frac{1}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}.\overrightarrow a\) cùng hướng với \(\overrightarrow a\) hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}\) cùng hướng với \(\overrightarrow a\)

Bài 4.38 trang 72

Cho ba vecto \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow u\) với \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b\) . Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị \(\overrightarrow a = \overrightarrow i ;\overrightarrow b = \overrightarrow j\). Chứng minh rằng:

a) Vecto \(\overrightarrow u\) có tọa độ là \(\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow a ,\overrightarrow u .\overrightarrow b } \right)\)

b) \(\overrightarrow u = \left( {\overrightarrow u .\overrightarrow a } \right)\overrightarrow a + \left( {\overrightarrow u .\overrightarrow b } \right).\overrightarrow b\)

Gợi ý đáp án

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow a = \overrightarrow i \Rightarrow \overrightarrow a \left( {1;0} \right)} \\ {\overrightarrow b = \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow b \left( {0;1} \right)} \end{array}} \right.\)

Gọi tọa độ của vecto \(\overrightarrow u \left( {c;d} \right)\)

=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow u .\overrightarrow a = 1.c + 0.d = c} \\ {\overrightarrow u .\overrightarrow b = 0.c + 1.d = d} \end{array}} \right.\)

Vì vậy tọa độ của vecto \(\overrightarrow u = \left( {\overrightarrow u .\overrightarrow a ,\overrightarrow u .\overrightarrow b } \right)\)

b) Ta có:

\(\begin{matrix} \left( {\overrightarrow u .\overrightarrow a } \right)\overrightarrow a + \left( {\overrightarrow u .\overrightarrow b } \right).\overrightarrow b = c.\overrightarrow a + d.\overrightarrow b \hfill \\ = c\left( {1;0} \right) + d\left( {0;1} \right) = \left( {c;d} \right) = \overrightarrow u \hfill \\ \end{matrix}\)