Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng Ôn tập Toán 12

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 12 tham khảo.

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng tổng hợp cách tìm m để hàm số có tiệm cận đứng kèm theo một số bài tập có đáp án kèm theo thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia qua các năm có đáp án kèm theo. Hi vọng qua tài liệu này giúp các bạn lớp 12 học tập chủ động, nâng cao kiến thức để đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm: Bài tập thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, 572 câu trắc nghiệm chuyên đề Hàm số nâng cao.

1. Cách tìm m để hàm số có tiệm cận đứng

Cách 1

Hàm số y=f(x) muốn có tiệm cận đứng thì cần thỏa mãn đủ các điều kiện sau:

+ Có các điểm mà hàm số không xác định. Đồng thời tồn tại lân cận trái hoặc phải của điểm đó là tập con của tập xác định của hàm số f(x).

+Tồn tại ít nhất 1 giới hạn một bên tại các điểm nêu trên bằng vô cực.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{u}{v}\) có tập xác định D

Bước 1. Muốn xác định đồ thị hàm số có tiệm cận hay không ta tìm nghiệm của phương trình v = 0. Ví dụ x = a là nghiệm của phương trình.

Bước 2. Xét x = a có là nghiệm của tử thức u:

+ Nếu x = a là không nghiệm của u = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.

+ Nếu x = a là nghiệm của u = 0 thì phân tích đa thức thành nhân tử:

\(y = \frac{u}{v} = \frac{{{{\left( {x - a} \right)}^m}.h\left( x \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^n}.g\left( x \right)}}\) . Rút gọn x – a:

Nếu còn nhân tử x – a dưới mẫu thì x = a là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Nếu không còn nhân tử x – a trên tử hay ca tử và mẫu thì x – a không là tiệm cận đứng của đồ thị.

Lưu ý: Với bài toán tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng ta cần tìm m thỏa mãn các điều kiện trên. Đối với hàm số phân thức thường chúng ta sẽ tìm điều kiện để mẫu có nghiệm và nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử số. 

Cách 2: Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số dạng f(x)/gx)

Để có thể tìm được tiệm cận đứng của hàm số dạng f(x)/g(x) thì chúng ta làm các bước như sau:

• Bước 01: Tìm nghiệm x₀ với phương trình g(x)=0
• Bước 02: Trong số những nghiệm ta tìm được ở bước trên, loại tất cả các giá trị là nghiệm của hàm số f(x)=0
• Bước 3: Những nghiệm x₀ còn lại chúng ta được đường thẳng x = x₀ chính là tiệm cận đứng của hàm số

Ví dụ minh họa: Tìm tiệm cận đứng của hàm số sau: y = x²−1 / x²−3x+2

Cách giải chi tiết:

Ta có: f(x)=x²−1 và g(x)=x²−3x+2

Xét phương trình g(x) = 0 ⇔ x²−3x+2 = 0 ⇔ x =2 hoặc x = 1

Ta nhận thấy x=1 cũng là nghiệm của phương trình f(x) = 0 ( x²−1 = 0)

x = 2 không phải là nghiệm của phương trình x²−1=0

Vậy chúng ta được hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng chính là đường thẳng x=2

2. Công thức tìm m để hàm số có tiệm cận đứng 

- Công thức tính tiệm cận đứng của hàm phân thức dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad - bc \ne 0} \\ {c \ne 0} \end{array}} \right.\)

3. Bài tập tìm m để hàm số có tiệm cận đứng 

Bài tập 1: Cho hàm số

\(y=\frac{x-1}{x^{2}+2 m x+4}\)

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng.

Gợi ý đáp án

Nhận thấy mẫu là tam thức bậc 2 có tối đa 2 nghiệm. Tử là nhị thức bậc nhất có nghiệm x=1.

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với mẫu phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Hay m²−4>0 và 1+2m+4≠0. Giải 2 điều kiện trên ta được tập các giá trị của m thỏa mãn là:

(−∞;−5/2)U(−5/2;−2)U(2;+∞)

Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số _{\(y = \frac{{m - 2}}{{mx + 1}}\)} có tiệm cận đứng

A. \(m \ne 1,m \ne - 3\)	B. \(m \ne \frac{5}{2}\)
C. \(m \ne \pm \frac{1}{4}\)	D. \(m \ne \pm \frac{1}{4}\)

Gợi ý đáp án

Mẫu có nghiệm \(x = - \frac{1}{m};m \ne 0\)

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{1}{m} - 2 \ne 0} \\ {m \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne \dfrac{{ - 1}}{2}} \\ {m \ne 0} \end{array}} \right.\)

Đáp án D

Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số _{\(y = \frac{{m{x^3} - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)}. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng.

A. \(m \ne 0\)	B. \(m \ne 2,m \ne \frac{1}{4}\)
C. \(m \ne 1;m \ne 2\)	D. \(m \ne 1,m \ne - 3\)

Gợi ý đáp án

Để hai đường thẳng x = 2 và x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 và x = 2 không là nghiệm của \(m{x^3} - 2\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m{{.1}^3} - 2 \ne 0} \\ {m{{.2}^3} - 2 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 2} \\ {m \ne \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right.\)

Đáp án B

Bài tập 4: Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + m}}{{x - m}}\). Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

A. \(m > 1\)	B. \(m \ne - 2\)
C. \(m = \pm 1\)	D. \(m = \left\{ {1;0} \right\}\)

Gợi ý đáp án

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x = m là nghiệm của \(2{x^2} - 3x + m\)

\(\begin{gathered} \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m + m = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2m\left( {m - 1} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m = 1} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{gathered}\)

Đáp án D

Bài tập 5: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có đúng một tiệm cận đứng.

A. \(m \in \left\{ { - 1; - 4} \right\}\)	B. \(m = - 1\)
C. \(m = - 4\)	D. \(m \in \left\{ {1;4} \right\}\)

Gợi ý đáp án

Ta có:

\(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{1^2} + m = 0} \\ {{2^2} + m = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 = 0} \\ {m + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = - 4} \end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Đáp án A