Công thức nghiệm thu gọn Công thức nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn là một trong những kiến thức bắt buộc, trọng tâm mà bất cứ học sinh lớp 9 nào cũng cần phải nắm vững để giải được các dạng toán khó và quan trọng. Chính vì thế trong bài viết dưới đây Eballsviet.com xin giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về công thức nghiệm thu gọn.

Công thức nghiệm thu gọn là kiến thức nền tảng vô cùng quan trọng để ứng dụng giải những dạng toán cơ bản và khó. Đặc biệt công thức nghiệm thu gọn luôn được ứng dụng trong chương trình toán về sau. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm tài liệu: Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán lớp 9.

1. Công thức nghiệm

Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0 {\rm{ }} (a \ne 0)\)

và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)

Trường hợp 1. Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)

Trường hợp 3. Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_{1}} = \dfrac{{-b + \sqrt {\Delta } }}{2a}, {x_{2}} = \dfrac{{-b - \sqrt {\Delta } }}{2a}\)

2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)\) với b = 2b' và biệt thức \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac.\)

Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}\)

Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}, {x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

Chú ý

- Khi a > 0 và phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm thì biểu thức \(a{x^2} + bx + c > 0\) với mọi giá trị của x.

- Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có a < 0 thì nên đổi dấu hai vế của phương trình để có a > 0, khi đó dể giải hơn.

- Đối với phương trình bậc hai khuyết \(a{x^2} + bx = 0, a{x^2} + c = 0\) nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn.

3. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

+ Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a

+ Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a

Ví dụ: Giải phương trình bậc hai \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 - \sqrt 3 = 0\)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét phương trình \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 - \sqrt 3 = 0\) có

\(a = 2 - \sqrt 3 ,b = 2\sqrt 3 \Rightarrow b' = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ;c = - 2 - \sqrt 3\)

Ta có:

\(\begin{matrix} \Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) = 16 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 4 \hfill \\ \end{matrix}\)

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{ - \sqrt 3 + 2}}{{2 - \sqrt 3 }} = 1,{x_2} = \frac{{ - \sqrt 3 - 2}}{{2 - \sqrt 3 }} = - 7 - 4\sqrt 3\)

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Ta có: a + b + c = \(2 - \sqrt 3 + 2\sqrt 3 - 2 - \sqrt 3 = 0\)

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = 1,{x_2} = - \frac{{ - 2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = - 7 - 4\sqrt 3\)

4. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)\) với b = 2b' và biệt thức \(\Delta ' = b{'^2} - ac.\)

Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}\)

Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}, {x_{2}} =\dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai dạng \(a{x^2} + bx + c = 0 với b = 2b'\)

+) Phương trình có nghiệm kép \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\)

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

+) Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b' = 0,c \ne 0\\a \ne 0,\Delta ' < 0\end{array} \right.\)

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn)

Phương pháp:

* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.

Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0 với \Delta = {b^2} - 4ac ( hoặc \Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac )\)

Trường hợp 1. Nếu \(\Delta < 0\) hoặc \(\left( {\Delta ' < 0} \right)\) thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu \(\Delta = 0\) hoặc \(\left( {\Delta ' = 0} \right)\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}.\)

Trường hợp 3. Nếu \(\Delta > 0\) hoặc \(\left( {\Delta ' > 0} \right)\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_{1}} = \dfrac{{-b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}, {x_{2}} = \dfrac{{-b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}.\)