Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Ôn thi THPT Quốc gia 2023 môn Toán

Cách tìm GTLN - GTNN của hàm nhiều biến là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 12 chương trình mới.

Phương pháp tìm GTLN, GTNN tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, cách tìm kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x)

Bước 1: Dự đoán và chứng minh \(f(x) \geq c ; f(x) \leq c\)

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f(x)=c

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P(x, y)=x^{2}+11 y^{2}-6 x y+8 x-28 y+21\)

Giải.

Biến đổi biểu thức dưới dạng \(P(x, y)=(x-3 y+4)^{2}+2(y-1)^{2}+3 \geq 3\)

Từ đó suy ra \(\operatorname{Min} P(x, y)=3 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y-1=0 \\ x-3 y+4=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=1 \\ x=-1\end{array}\right.\right.\)

Bài 2. Cho x, y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S=\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\sin ^{2}(x+y)\)

Giải

\(S=\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\sin ^{2}(x+y)=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1-\cos 2 y}{2}+1-\cos ^{2}(x+y)\)

\(S=2-\cos (x+y) \cos (x-y)-\cos ^{2}(x+y)\)

\(=\frac{9}{4}-\left[\frac{1}{4}+\cos (x+y) \cos (x-y)+\cos ^{2}(x+y)\right]\)

\(S=\frac{9}{4}-\left[\frac{1}{2} \cos (x-y)+\cos (x+y)\right]^{2}-\frac{1}{4} \sin ^{2}(x-y) \leq \frac{9}{4} .\)

Với \(x=y=\frac{\pi}{3}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})\) thì Max \(S=\frac{9}{4}\)

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{8}^{2}-\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\ldots+x_{6} x_{7}+x_{7} x_{8}+x_{8}\right)\)

GIẢI

\(S=\left(x_{1}-\frac{1}{2} x_{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}\left(x_{2}-\frac{2}{3} x_{3}\right)^{2}+\frac{4}{6}\left(x_{3}-\frac{3}{4} x_{4}\right)^{2}+\frac{5}{8}\left(x_{4}-\frac{4}{5} x_{5}\right)^{2}+\)

\(+\frac{6}{10}\left(x_{5}-\frac{5}{6} x_{6}\right)^{2}+\frac{7}{12}\left(x_{6}-\frac{6}{7} x_{7}\right)^{2}+\frac{8}{14}\left(x_{7}-\frac{7}{8} x_{8}\right)^{2}+\frac{9}{16}\left(x_{8}-\frac{8}{9}\right)^{2}-\frac{4}{9} \geq-\frac{4}{9}\)

Với \(x_{1}=\frac{1}{2} x_{2} ; x_{2}=\frac{2}{3} x_{3} ; \ldots ; x_{6}=\frac{6}{7} x_{7} ; x_{7}=\frac{7}{8} x_{8} ; x_{8}=\frac{8}{9}\), thì Min \(S=-\frac{4}{9}\)

Bài 5. Cho \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(\mathrm{S}=19 x^{2}+54 y^{2}+16 z^{2}-16 x z-24 y+36 x y\)

Giải.

Biến đổi \(\mathrm{S} \Leftrightarrow f(x)=19 x^{2}-2(8 z-18 y) x+54 y^{2}+16 z^{2}-24 y\)

Ta có \(\Delta_{x}^{\prime}=g(y)=(8 z-18 y)^{2}-\left(54 y^{2}+16 z^{2}-24 y\right)=-702 y^{2}+168 z y-240 z^{2}\)

\(\Rightarrow \Delta_{y}^{\prime}=(84 z)^{2}-702.240 z^{2}=-161424 z^{2} \leq 0 \quad \forall z \in \mathrm{R} \Rightarrow g(y) \leq 0 \forall y, z \in \mathrm{R}\)

Suy ra \(\Delta_{x}^{\prime} \leq 0 \quad \forall y, z \in \mathrm{R} \Rightarrow f(x) \geq 0\). Với \(x=y=z=0 thì \operatorname{Min} S=0\)

Bài 6. Cho \(x^{2}+x y+y^{2}=3\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

\(\mathrm{S}=x^{2}-x y+y^{2}\)

Giải

Xét y=0 \(\Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow \mathrm{S}=3\) là 1 giá trị của hàm số.

Xét \(y \neq 0\), khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây 

\(u=\frac{S}{3}=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}=\frac{(x / y)^{2}-(x / y)+1}{(x / y)^{2}+(x / y)+1}=\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}=u với t=\frac{x}{y}\)

\(\Leftrightarrow u\left(t^2+t+1\right)=t^2-t+1\Leftrightarrow(u-1)t^2+(u+1)t+(u-1)=0\)

+ Nếu \(u=1, thì t=0 \Rightarrow x=0, y= \pm \sqrt{3} \Rightarrow u=1\) là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu \(u \neq 1\), thì u thuộc tập giá trị hàm số \(\Leftrightarrow\) phương trình (*) có nghiệm t

\(\Leftrightarrow \Delta=(3 u-1)(3-u) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq u \neq \mathbb{1} \leq 3.\)

Vậy tập giá trị của u là \(\left[\frac{1}{3}, 3\right] \Rightarrow \operatorname{Min} u=\frac{1}{3} ; \operatorname{Max} u=3\)

\(\operatorname{Min} \mathrm{S}=1 \Leftrightarrow \operatorname{Min} u=\frac{1}{3} \Leftrightarrow t=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=y \\ x^2+x y+y^2=3\end{array} \Leftrightarrow x=y= \pm 1\right.\)

Max \(S =9 \Leftrightarrow \operatorname{Max} u=3 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-y \\ x^2+x y+y^2=3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{3}, y=-\sqrt{3} \\ x=-\sqrt{3}, y=\sqrt{3}\end{array}\right.\right.\)

Bài 7. Cho \(x, y \in \mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện \(\left(x^2-y^2+1\right)^2+4 x^2 y^2-\left(x^2+y^2\right)=0\) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(\mathrm{S}=x^2+y^2\)

Giải Biến đổi \(\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x^2-y^2\right)+1+4 x^2 y^2-\left(x^2+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-3\left(x^2+y^2\right)+1+4 x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-3\left(x^2+y^2\right)+1=-4 x^2\)

Do \(-4 x^2 \leq 0 nền \left(x^2+y^2\right)^2-3\left(x^2+y^2\right)+1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2} \leq x^2+y^2 \leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

Với \(x=0, y= \pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}, thì \operatorname{Min}\left(x^2+y^2\right)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)

Với \(x=0, y= \pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\), thi \(\operatorname{Max}\left(x^2+y^2\right)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\sqrt{4 x^2+2 x+1}\)

Giải.

Gọi yo là 1 giá trị của hàm f(x)

\(\Rightarrow\) tồn tại \(x_0\) sao cho \(x_0\)

\(\Leftrightarrow y_0-x_0=\sqrt{4 x_0^2+2 x_0+1} \Rightarrow y_0^2-2 y_0 x_0+x_0^2=4 x_0^2+2 x_0+1\)

\(\Leftrightarrow g\left(x_0\right)=3 x_0^2+2\left(1+y_0\right) x_0+1-y_0^2=0\). Ta có g(x)=0 có nghiệm \(x_0\)

\(\Leftrightarrow \Delta^{\prime}=\left(1+y_0\right)^2-3\left(1-y_0^2\right)=2\left(2 y_0^2+y_0-1\right)=2\left(y_0+1\right)\left(2 y_0-1\right) \geq 0\)

Do \(y_0=x_0+\sqrt{3 x_0^2+\left(x_0+1\right)^2} \geq x_0+\sqrt{3 x_0^2}=x_0+\sqrt{3}\left|x_0\right| \geq 0\) nên

\(\Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow 2 y_0-1 \geq 0 \Leftrightarrow y_0 \geq \frac{1}{2}.\) Với \(x=-\frac{1}{2}\) thì \(Minf f(x)=\frac{1}{2}\)

..............

Mời các bạn tải File tài liệu về để xem thêm nội dung chi tiết