Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Thanh Hóa năm 2013 - 2014 Môn: Toán

Câu I (4,0 điểm).

Cho hàm số y = x³ - 3x²mx⁴ - m có đồ thị (Cm), với m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3.

2) Đường thẳng d: y = -x³ cắt một đường cong bất kì (C) trong các đường cong tại ba điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong này tại điểm thứ hai là M, N. Tìm tất cả các giá trị của m để tứ giác AMBN là hình thoi.

Câu II (4,0 điểm).

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu III (4,0 điểm).

1) Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm:

2) Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển .

Câu IV (6,0 điểm).

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G(1; 2). Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC là (x - 3)²(y2)² = 25. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuôn góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp SBCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

Câu V (2,0 điểm).

Cho là ba số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Download tài liệu để xem chi tiết.