Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Quảng Bình năm 2013 - 2014 Môn: Toán

Câu 1 (4.0 điểm)

Giải phương trình:

Câu 2 (4.0 điểm)

Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số (x_n) được xác định như sau: (tử số có n dấu căn)

Tính giới hạn của dãy số (x_n).

Câu 3 (4.0 điểm)

Tìm các hàm số f: R → R thỏa mãn:

Câu 4 (4.0 điểm)

Cho tam giác ABC và M, N là hai điểm di động trên đường thẳng BC sao cho . Đường thẳng d₁ đi qua và vuông góc với AC, đường thẳng d₂ đi qua và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của d₁ và d₂. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 5 (4.0 điểm)

Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.

Câu 6 (5,0 điểm).

Giải hệ phương trình:

Câu 7 (5,0 điểm).

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Câu 8 (5,0 điểm).

Cho hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau tại A và B sao cho IA vuông góc JA. Đường thẳng IJ cắt hai đường tròn tại C, E, D, F sao cho các điểm C, I, E, D, J, F nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. BE cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai K và cắt AC tại M. BD cắt đường tròn (J) tại điểm thứ hai L và AF tại N.

a) Chứng minh rằng: MN vuông góc AB.

b) Chứng minh rằng: KE.LN.ID = JE.KM.LD.

Câu 9 (5,0 điểm).

Cho các số nguyên dương n, k, p với k ≥ 2 và k(p1) ≤ n. Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.

2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.

3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.

(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó).

Download tài liệu để xem chi tiết.