Cách tính số phức liên hợp Ôn tập Toán 12

Cách tính số phức liên hợp là tài liệu rất hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 12 tham khảo.

Cách tính số phức liên hợp của số phức z bao gồm lý thuyết và các dạng bài khác nhau, có lời giải chi tiết kèm. Đây là tài liệu cực kì hữu ích cho các bạn lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia 2022. Đồng thời giúp quý thầy cô có thêm nhiều tư liệu tham khảo trong quá trình dạy học. Mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

1. Số phức liên hợp là gì

Số phức liên hợp chính là a – bi và được ký hiệu là z , với z = a − bi.

Ví dụ:

ta có z= 2 + 3i, vậy số phức liên hợp z = 2 – 3i.

Tuy nhiên, có nhiều bạn hay nhầm lẫn số phức liên hợp với số đối và cho rằng hai định nghĩa trên là một. Đó là suy nghĩ không chính xác. Bởi số đối được ký hiệu là – z với –z = -a – bi.

2. Tính chất của số phức liên hợp

Nắm được định nghĩa số phức liên hợp là gì chưa thể giúp bạn giải được các dạng bài tập về số phức liên hợp. Vì vậy, việc nắm chắc tính chất của số phức liên hiệp là không thể thiếu.

Số phức liên hợp có một số tính chất quan trọng sau đây:

|z|=|z|; ∀z∈C

Do đó, hai điểm biểu diễn z và z sẽ đối xứng với nhau qua trục Oxy trên mặt phẳng tạo độ Oxy.

z+z’ = z + z’

Theo công thức này, liên hợp của một tổng sẽ bằng tổng các số phức liên hợp. Và công thức trên còn đúng với cả phép trừ, phép nhân và phép chia.

z.z = a 2 + b 2

Đây là công thức quan trọng và thường được áp dụng nhiều trong các bài toán.

Với z là số thực, ta có thì trong mọi trường hợp, z = z

Với z là số ảo tức là phần thực của nó = 0 thì z = – z

z = z

3. Một số kiến thức cần nhớ

- Cho số phức z = a + bi. Số phức liên hợp của số phức z là \(\overline z = a - bi\)

- Tính chất: Cho số phức \(z = a + bi,a,b \in \mathbb{R},{i^2} = - 1\)

· \(z = \overline z \Leftrightarrow\) Số phức z là số thực

· \(z = - \overline z \Leftrightarrow\) Số phức x là số thuần ảo

· \(\overline {{z_1} \pm {z_2}} = \overline {{z_1}} \pm \overline {{z_2}}\)

· \(\overline {{z_1}.{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}}\)

· \(\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }},\overline {{z_2}} \ne 0\)

4. Bài tập cách tính số phức liên hợp

Bài tập 1: Cho số phức z = 2 – 3i. Số phức liên hợp của số phức z là:

A. \(\overline z = - 2 + 3i\)	B. \(\overline z = - 2 - 3i\)
C. \(\overline z = 3 + 2i\)	D. \(\overline z = 2 + 3i\)

Hướng dẫn giải

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là \(\overline z = a - bi\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z = 2 – 3i là \(\overline z = 2 + 3i\)

Đáp án C

Bài tập 2: Cho số phức \(z = \frac{{2 + 3i}}{{1 + i}}\). Tìm số phức liên hợp của số phức z:

A. \(\overline z = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)	B. \(\overline z = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\)
C. \(\overline z = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)	D. \(\overline z = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\)

Hướng dẫn giải

\(z = \frac{{2 + 3i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{2 - 2i + 3i - 3{i^2}}}{{{1^2} - {i^2}}} = \frac{{2 + i + 3}}{{1 + 1}} = \frac{{5 + i}}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)

Vậy số phức liên hợp của số phức z là \(\overline z = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\)

Đáp án B

Bài tập 3: Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - i} \right) + \frac{{ - 4 + i}}{{ - 1 + 2i}}\)

A. \(\overline z = \frac{{32}}{5} + \frac{{31}}{5}i\)	B. \(\overline z = - \frac{{31}}{5} - \frac{{32}}{5}i\)
C. \(\overline z = - \frac{{31}}{5} + \frac{{32}}{5}i\)	D. \(\overline z = \frac{{31}}{5} - \frac{{32}}{5}i\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - i} \right) + \dfrac{{ - 4 + i}}{{ - 1 + 2i}} \hfill \\ = 3 - i + 6i + 2 + \dfrac{{\left( { - 4 + i} \right)\left( { - 1 - 2i} \right)}}{{\left( { - 1 + 2i} \right)\left( { - 1 - 2i} \right)}} \hfill \\ = 3 + 5i + 2 + \dfrac{{4 + 8i - i + 2}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}}} \hfill \\ = 5 + 5i + \dfrac{{6 + 7i}}{{1 + 4}} = 5 + 5i + \dfrac{{6 + 7i}}{5} \hfill \\ = \dfrac{{31}}{5} + \dfrac{{32}}{5}i \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy số phức liên hợp của số phức z là \(\overline z = \frac{{31}}{5} - \frac{{32}}{5}i\)

Đáp án D

Bài tập 4: Cho số phức z thỏa mãn phương trình: \(z + \left( {2 - 3i} \right)\overline z = - 5 + 8i\). Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:

A. \(\frac{{13}}{4};\frac{{ - 19}}{{12}}\)	B. \(- \frac{{13}}{4};\frac{{ - 19}}{{12}}\)
C. \(\frac{{13}}{4};\frac{{19}}{{12}}\)	D. \(\frac{{ - 13}}{4};\frac{{19}}{{12}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z = a + bi suy ra số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi\)

\(\begin{matrix} z + \left( {2 - 3i} \right)\overline z = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) + \left( {2 - 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow a + bi + 2a - 2bi - 3ai - 3b = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow 3a - 3b - bi - 3ai = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3a - 3b = - 5} \\ { - b - 3a = 8} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = - \dfrac{{13}}{4}} \\ {b = \dfrac{{ - 19}}{{12}}} \end{array}} \right.} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy số phức z là: \(z = - \frac{{13}}{4} - \frac{{19}}{{12}}i\)

Đáp án B