Đề thi Olympic Toán học quốc tế IMO Colombia năm 2013

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ IMO COLOMBIA
NĂM 2013

Ngày thi thứ nhất: (23/07/2013)

Bài 1.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k và n, tồn tại các số nguyên dương m₁, m₂,..., m_k sao cho:

Bài 2.

Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Hỏi cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó?

Bài 3.

Cho tam giác ABC và A₁, B₁, C₁ lần lượt là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng, nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác A₁B₁C₁ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, thì ABC là tam giác vuông.

Ngày thi thứ hai (24/07/2013)

Bài 4.

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, và W là một điểm trên cạnh BC, nằm giữa B và C. Các điểm M và N theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh B và C. Gọi ω₁ là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN, và X là một điểm trên đường tròn sao cho WX là đường kính của ω₁. Tương tự, ω₂ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác CWM, và Y là điểm sao cho WY là đường kính của ω₂. Chứng minh rằng ba điểm X, Y và H thẳng hàng.

Bài 5. Cho là tập hợp các số hữu tỉ dương, và f: Q > 0 → R là hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f(x)f(y) ≥ f(xy) với mọi x, y thuộc Q > 0

(ii) f(xy) ≥ f(x).f(y) với mọi x, y thuộc Q > 0

(iii) Tồn tại số hữu tỉ a > 1 sao cho f (a) = a.

Chứng minh rằng f(x) = x với mọi x thuộc Q > 0.

Bài 6.

Cho số nguyên n ≥ 3 và xét n+1 điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị 0, 1, ..., n không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số a < b < c < d với a + d = b + c, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và d không cắt dây cung nối các điểm được đánh số b và c.

Gọi M là số cách đánh số đẹp và N là số các cặp số nguyên dương (x,y) được sắp thứ tự (nghĩa là: (x,y) và (y,x) là khác nhau, trừ khi x = y) sao cho xy ≤ n và gcd(x, y) = 1. Chứng minh rằng M = N + 1.

Download tài liệu để xem chi tiết.