Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Cần Thơ năm 2013 - 2014 Môn: Toán

Câu 1:

Giải hệ phương trình sau:

Câu 2:

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, AB < AC, AH là đường cao và AD là đường phân giác trong. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trêm các cạnh AC và AB, M là giao điểm của BE và CF.

1. Chứng minh ba điểm A, M, H thẳng hàng.

2. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh:

3. Gọi N là giao điểm của BC với đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh:

Câu 3:

Cho a, b, c là ba số nguyên khác không và thỏa mãn a²bb²cc³a = 3abc (1)

1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên a, b, c đôi một khác nhau thỏa (1)

2. Chứng minh abc là lập phương của một số nguyên.

Câu 4:

Cho các đa thức P(x), Q(x) với hệ số thức thỏa mãn điều kiện P(x) = Q(x)Q(1 - x), với mọi x thuộc R. Biết P(0) = 0 và các hệ số của P(x) đều không âm. Tính P(P(2013)).

Câu 5:

Tìm tất cả các hàm số f: Z → Z thỏa mãn các điều kiện:

Câu 6:

Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số 1 và 3 vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên a và b thì được phép viết thêm số c = a + b + ab vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số 2509 và 20132014 hay không? Giải thích tại sao?

Download tài liệu để xem chi tiết.